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平行四邊形的周長公式怎么寫(平行四邊形的周長公式是什么)

本文將梳理平行四邊形的性質,并且圍繞平行四邊形的性質進行證明,同時解決平行四邊形背景下的面積計算。

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1、平行四邊形的定義:

兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。

2、平行四邊形的性質定理:

平行的四邊形的對邊相等;

平行四邊形的對角相等;

平行四邊形的對角線互相平分;

平行四邊形是中心對稱圖形,對稱中心是兩條對角線的交點。

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3、平行線的距離:

兩條平行線中一條直線上的任意一點到另一條直線的就距離;

兩平行線的距離處處相等;夾在兩平行線間的平行線段相等。

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1、與角相關的證明與計算:

① 已知,平行四邊形ABCD中,∠A:∠B:∠C:∠D的值可以是( )

A、1:2:3:4;B、3:4:4:3;

C、3:3:4:4 ;D、3:4:3:4.

解析:平行四邊形的對角相等,鄰角互補。因此,角之間的關系是∠A=∠C;∠B=∠D,由此可見,D選項正確。

② 在平行四邊形ABCD中,如果AB=8,AD、BC之間的距離為4,求∠A度數。

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解析:本題有兩種情況,當∠A為銳角時,如圖1,此時∠A=30°;當∠A為鈍角時,如圖2,此時∠B=30°,∠A=150°,綜上,∠A=30°或150°。

③ 在平行四邊形ABCD的一個銳角向對邊作兩條高,如果兩條高的夾角為135°,求平行四邊形各個內角的度數。

解析:本題需要根據題意畫出圖形,利用幾組幾組相等的內錯角以及同角的余角相等,求出平行四邊形各個內角的度數。

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2、與邊相關的證明與計算:

① 已知,如圖,在平行四邊形ABCD中,AM=DM,

求證:(1) AE=AB;(2)如果BM平分∠ABC,求證:BM⊥CE.

解析:平行四邊形+角平分線,往往會出現等腰三角形。本題的第2問可以通過證明▲AEM為等腰三角形,利用三線合一來證明BM⊥CE;也可以利用AB=AE=AM,利用角之間的關系證明BM⊥CE.

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② 已知,如圖,在平行四邊形ABCD中,E為AB中點,DF⊥BC,垂足為F.

求證:∠AED=∠EFB.

解析:本題根據中點性質,既可以利用倍長中線法證明,也可以構造中位線證明。

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3、與對角線相關的證明與計算:

① 如圖,在平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,過點O的直線交AD,CB的延長線于點E、F。請找出圖中所有的全等三角形。

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② 在周長為20厘米的平行四邊形ABCD中,AB≠AD,AC、BD相交于點O,OE⊥BD交AD于點E,則▲ABE的周長為多少?

解析:利用OE是BD的垂直平分線,得到BE=DE,將▲ABE的周長轉化為AB+AD.

補充:若BC>AB,則▲BOC與▲AOB的周長差為(BO+OC+BC)-(BO+AO+AB)=BC-AB。

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4、與底角平分線相關的證明與計算:

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在平行四邊形中,做一個角的角平分線就會產生等腰三角形;特別地,如果做兩個同旁內角的角平分線就會產生垂直

① 平行四邊形ABCD中,∠A的平分線分別分BC成5厘米和3厘米兩段,則這個平行四邊形的周長為多少?

解析:畫圖后進行分類討論,利用平行+角平分線→等腰三角形。這三者之間存在互推的關系(已知2→1)。

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① 平行四邊形ABCD中,AB=8,∠C=60°,∠A的平分線與∠B的平分線相交于點E,EF⊥AB,求EF的長.

解析:利用同旁內角角平分線互相垂直以及30°角的性質求解。

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1、基本圖形中的面積關系:

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2、平行四邊形背景下與面積相關的問題:

① 如圖,在平行四邊形ABCD中,點F在DC延長線上,聯結AF交BC于點E,聯結BF,DE,求證:S▲ADE=S▲BAF.

解析:要證明▲ADE的面積=▲BAF的面積,從圖中可以看出這兩個三角形的面積都等于平行四邊形面積的一半,所以結論可證。

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② 如圖1,E為平行四邊形ABCD內一點,試探索▲ADE、▲BCE、▲ABE、▲DCE面積之間的關系;如圖2,E在平行四邊形ABCD邊CD所在直線上方,試探索▲ADE、▲BCE、▲ABE、▲DCE面積之間的關系.

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解析:借由前面的解題思路,通過過點E作垂線,計算四個三角形的面積,用平行四邊形的邊長表示相應的面積。

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③如圖,設P為四邊形ABCD內一點,過點P分別作AB,AD的平行線交平行四邊形的四邊于E,F,G,H四點,若四邊形AHPE的面積為3,若四邊形PFCG的面積為5,求▲PBD的面積為多少?

解析:利用面積的和差以及相等的三角形面積進行計算。

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