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神奇的橢圓面積-橢圓是數(shù)學(xué)和自然界的基本形狀(橢圓的面積如何計算-)

橢圓的面積

橢圓是數(shù)學(xué)和自然界的基本形狀。公元前 4 世紀(jì)由Menaechmus首次描述,它們已成為數(shù)學(xué)教育的標(biāo)準(zhǔn)元素。最值得注意的是,正如Johannes Kepler在 17 世紀(jì)發(fā)現(xiàn)的那樣,它們非常精確地描述了行星軌道的路徑。橢圓可以被認(rèn)為是一個向一個方向拉伸的圓。在開始討論橢圓的面積之前,讓我們了解一些術(shù)語并了解什么是橢圓。

橢圓的定義

橢圓屬于圓錐曲線族,被定義為平面與圓錐成一定角度的交線。

神奇的橢圓面積-橢圓是數(shù)學(xué)和自然界的基本形狀(橢圓的面積如何計算-)

橢圓顯示為紅色

橢圓也可以定義為一條線,其中所有點與兩個焦點的距離總和相同。這是一個復(fù)雜的定義,讓我們?yōu)g覽一下它并查看圖片以確保我們知道它的含義。

我們從定義橢圓的兩個稱為焦點 F1F2 的點開始。然后我們有一個設(shè)定的距離,我們稱該距離為X。在沿橢圓線的每個點A處, AF1之間的距離加上AF2之間的距離等于X 。

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可以使用連接到焦點的字符串來繪制橢圓。字符串的長度等于 X。

現(xiàn)在我們已經(jīng)掌握了基礎(chǔ)知識,我們將定義更多的長度來理解省略號

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標(biāo)有多條線長的橢圓

橢圓具有半長軸(長度定義為a)和半短軸(長度定義為b)。半長軸總是較長的,并且與兩個焦點一致。還有從橢圓中心到焦點(定義為c)的距離。請注意,距離a出現(xiàn)了兩次。它既是橢圓中心到半長軸末端的距離,又是焦點到半短軸末端的距離??纯茨闶欠衲艽_定為什么這是真的!提示:使用勾股定理和橢圓的原始定義,答案在本文底部。

最后一個重要的價值體現(xiàn)了橢圓的特征:它的偏心率。我們將偏心率定義為c和a的比值結(jié)果是

神奇的橢圓面積-橢圓是數(shù)學(xué)和自然界的基本形狀(橢圓的面積如何計算-)

我們可以將偏心率視為橢圓的“伸展”程度。偏心率為 0 的橢圓只是一個圓(焦點在同一點)。圓是橢圓的特例。一個偏心率為 1 的橢圓被無限拉長,呈現(xiàn)為一條線。

橢圓面積

現(xiàn)在我們有了基本的定義,我們?nèi)绾斡嬎忝娣e?前面提到圓是橢圓的特例,我們用下面的公式計算圓的面積:

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要將其概括為橢圓,我們需要考慮值r 的含義。橢圓實際上有兩個不同的半徑,一個用于半長軸a,一個用于半短軸b。事實證明,建立這種聯(lián)系是計算橢圓面積所需的唯一步驟。

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如果您想要這個公式的具體證明,我建議您查看此處列出的兩個證明。第一個需要一些微積分知識,但它是一個相當(dāng)簡單的積分。第二個證明依賴于一些幾何定理和橢圓與圓之間的關(guān)系。在評論中讓我知道您更喜歡哪一個!

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