阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計(jì)算了一個(gè)橢圓的面積(命題4)。
當(dāng)我們垂直地縮小一個(gè)圓時(shí)，我們得到一個(gè)橢圓。橢圓有一條長半軸和一條短半軸。
橢圓面積的公式是對圓面積的一種美麗的推廣。長半軸a、短半軸b的橢圓面積為:
首先，我們用直觀的方法推導(dǎo)出這個(gè)公式。但阿基米德的“方法”和嚴(yán)格的定理證明之間有明顯的區(qū)別。
之后，我們將解釋阿基米德是如何證明這個(gè)結(jié)果的。
在橢圓周圍半徑為a的圓稱為它的輔助圓。如果我們(垂直地)縮小這個(gè)圓，我們得到一個(gè)橢圓。給定橢圓上的點(diǎn)m，它滿足關(guān)系式:
阿基米德考慮了橢圓和輔助圓內(nèi)接的一些多邊形。這些多邊形的邊數(shù)等于4的倍數(shù)，并以水平直徑的相對端點(diǎn)作為頂點(diǎn)。
圓內(nèi)接的多邊形P'是正多邊形，P是內(nèi)接在橢圓E上的多邊形，其頂點(diǎn)是從P'的頂點(diǎn)到E的水平軸的垂線與橢圓E的交點(diǎn)，我們具有以下關(guān)系
那么兩個(gè)多邊形P和P'的面積關(guān)系是：
但是這些多邊形可以有任意多的邊，它們可以無限的趨近圓和橢圓
我們得到橢圓面積的公式:
如果我們的直覺是正確的，那么這就是橢圓面積的公式。使用mathlet縮放，我們可以看到非常好的近似值，但多邊形永遠(yuǎn)不會完全填充整個(gè)橢圓或圓
這是一個(gè)很好的方法，但阿基米德需要一個(gè)邏輯嚴(yán)密的證明。
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