今天我們來討論一個非常有趣的問題，對于任意一個復數(shù)(a bi)，取自然對數(shù)ln(a bi)，其值是多少？
ln(a bi)=？
這里a，b不同時為0
ln(0)沒有意義
要想解決這個問題，我們還是需要利用到強大的歐拉公式。
歐拉公式：e^(ix)=cos(x) isin(x)
a bi=[√(a^2 b^2)]{a/√(a^2 b^2) [b/√(a^2 b^2)]i}
由于a，b不同時為0，可令：
r=√(a^2 b^2)＞0
m=a/√(a^2 b^2)=a/r
n=b/√(a^2 b^2)=b/r
a bi=r(m ni)
我們?yōu)槭裁匆岢鲆粋€系數(shù)r=√(a^2 b^2)呢？
因為我們想要使得：
m^2 n^2
=(a/r)^2 (b/r)^2
=a^2/r^2 b^2/r^2
=(a^2 b^2)/r^2
=(a^2 b^2)/(a^2 b^2)=1
m^2 n^2=1
而[cos(x)]^2 [sin(x)]^2=1
這樣，我們總能找到一個合適的x，使得：
cos(x)=m，sin(x)=n
這里x只取主值，0≤x＜2π
a bi=r(m ni)
=r[cos(x) isin(x)]
=re^(ix)
a bi=re^(ix)
a，b不同時為0
r=√(a^2 b^2)＞0
cos(x)=m=a/r，sin(x)=n=b/r
0≤x＜2π
ln(a bi)=ln[re^(ix)]
=ln(r) ln[e^(ix)]
=ln(r) ixln(e)
=ln(r) ix
最終結論：
ln(a bi)=ln(r) xi
a，b不同時為0
r=√(a^2 b^2)＞0
cos(x)=a/r，sin(x)=b/r
0≤x＜2π
最后我們來看幾個例子。
例1：求ln(-1)
解：-1=-1 0×i
a=-1，b=0
r=√[(-1)^2 0^2]=√1=1
cos(x)=-1/1=-1，sin(x)=0/1=0
0≤x＜2π，x=π
ln(-1)=ln(r) xi
=ln(1) πi=0 πi=πi
ln(-1)=πi
其實這個結論進一步推導即可得出著名的歐拉恒等式。
ln(-1)=πi
e^(iπ)=-1
歐拉恒等式：e^(iπ) 1=0
例2：求ln(i)
解：i=0 1×i
a=0，b=1
r=√(0^2 1^2)=√1=1
cos(x)=0/1=0，sin(x)=1/1=1
0≤x＜2π，x=π/2
ln(i)=ln(r) xi
=ln(1) (π/2)i=0 (π/2)i=πi/2
ln(i)=πi/2
例3：求ln(1 i)
解：1 i=1 1×i
a=1，b=1
r=√(1^2 1^2)=√2
cos(x)=1/√2=√2/2
sin(x)=1/√2=√2/2
0≤x＜2π，x=π/4
ln(i)=ln(r) xi
=ln(√2) (π/4)i=ln(2)/2 (π/4)i
≈0.3467 0.7854i
ln(1 i)≈0.3467 0.7854i
