初中生開始學(xué)習(xí)和運用開方知識，并且在初中階段，最常用的是開平方，也就是求被開方數(shù)的二次方根，立方雖然也有所涉及，不過不是要點。不過高中階段，立方也是必須要掌握運用的了，當然開立方也是不在話下。

在實際的學(xué)習(xí)過程中，有一部分學(xué)生除了對熟記的內(nèi)容（主要來自于九九乘法表）掌握得不錯以外，其他數(shù)的開平方和開立方則不會做。

為了幫助需要者熟練判斷并快速得出開方數(shù)，這里介紹一種簡便的根據(jù)10以內(nèi)數(shù)的平方和立方口算不超過四位數(shù)的開平方和不超過六位數(shù)的開立方。

這種方法適合所有二次方根或三次方根是兩位數(shù)的情況。

因為二次方根或三次方根是一位數(shù)的情況可以直接根據(jù)九九乘法表得出或者根據(jù)10以內(nèi)的立方直接得出。

而二次方根或三次方根是三位數(shù)的情況在初高中階段涉及較少，所以掌握是兩位數(shù)的情況就足夠使用的了。

前提條件：

熟練背誦并快速默寫10以內(nèi)數(shù)的平方。熟練背誦并快速默寫10以內(nèi)數(shù)的立方。在沒有達到前提條件的要求時，不建議繼續(xù)下面的步驟，因為這是前提，下面的判斷和直接口算得出答案就是依靠前提條件進行的。

第一步：掌握平方數(shù)或立方數(shù)與結(jié)果個位數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系。

為了能夠快速口算二次方根或三次方根，我們必須要建立平方數(shù)或立方數(shù)與平方或立方結(jié)果的個位數(shù)間的對應(yīng)關(guān)系，這樣才便于后面的判斷和運用。

10以內(nèi)的立方中，立方數(shù)與結(jié)果個位數(shù)之間是一一對應(yīng)的關(guān)系，這個一一對應(yīng)的關(guān)系需要數(shù)量掌握。在具體運用過程中，如果不能熟練掌握，可以直接列出10以內(nèi)的立方表來參考。

10以內(nèi)立方中的一一對應(yīng)關(guān)系

10以內(nèi)立方中的對應(yīng)關(guān)系

由上表格可知，1、4、5、6、9這五個數(shù)的立方數(shù)與結(jié)果個位數(shù)是相同的，而2、8、3、7這四個數(shù)的立方數(shù)與結(jié)果個位數(shù)是互補的（其和為10），這樣我們就可以很輕松的掌握它們之間的一一對應(yīng)關(guān)系了。

2、3、7、8互補，其它同。為了簡潔，可以直接記為“2、3互補，其它同”。

記住以上口訣即可。

2、3互補就是說在立方數(shù)與結(jié)果個位數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系上，2、3都是與其互補數(shù)一一對應(yīng)的，同樣地，2、3的互補數(shù)也是與2、3一一對應(yīng)的。因此“2、3互補”就暗含了2、8和3、7這兩對互補數(shù)，也就是4個數(shù)。

下面我們來看看平方數(shù)與結(jié)果個位數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系。

10以內(nèi)平方中的對應(yīng)關(guān)系

10以內(nèi)平方中的對應(yīng)關(guān)系

根據(jù)上面表格，我們知道1、5、6這三個數(shù)的平方數(shù)與結(jié)果個位數(shù)是相同的；2、8這兩個互補的數(shù)的結(jié)果個位數(shù)都是4；3、7這兩個互補的數(shù)的結(jié)果個位數(shù)都是9；9、1這兩個互補的數(shù)的結(jié)果個位數(shù)都是1；4、6這兩個互補的數(shù)的結(jié)果個位數(shù)都是6.

我們發(fā)現(xiàn)了一個規(guī)律：互補的兩個數(shù)結(jié)果的個位數(shù)是相同的。因此我們可以根據(jù)這個特點來掌握。

比如9,9的補數(shù)是1，而1的平方是1，所以9這個平方數(shù)的結(jié)果個位數(shù)是1.

再比如結(jié)果個位數(shù)6與哪幾個平方數(shù)對應(yīng)呢？既然6是平方數(shù)的結(jié)果的個位數(shù)，因此可以根據(jù)九九乘法表知4和6都滿足，并且4和6這兩個數(shù)是互補的。

強調(diào)：以上兩個表格必須要熟練地掌握，能達到不需要思考可以直接寫出對應(yīng)的數(shù)最好。

第二步：確定被開方數(shù)開方結(jié)果的位數(shù)。

由于一位數(shù)的平方和立方大家已經(jīng)掌握，因此我們根據(jù)一位數(shù)的平方和立方的結(jié)果知道以下內(nèi)容：

1.根據(jù)10以內(nèi)立方中9的立方是729，而10的立方是1000，我們可以得出不超過三位數(shù)的數(shù)開立方其結(jié)果應(yīng)是一位數(shù)。因此我們可以把開立方的被開方數(shù)的右邊三位數(shù)歸為開方結(jié)果的個位數(shù)對應(yīng)，而從第四位開始到第六位這幾位對應(yīng)的則是開方結(jié)果的十位數(shù)。

比如求681472的立方根。根據(jù)上面規(guī)律，我們可以確定這個數(shù)的立方根是個兩位數(shù)，并且472對應(yīng)的是立方根的個位數(shù)，681對應(yīng)的是立方根的十位數(shù)。

2.根據(jù)10以內(nèi)平方中9的平方是81，而10的平方是100，我們知道不超過兩位數(shù)的數(shù)的平方根（即開平方）應(yīng)該是一位數(shù)。并且平方根中的個位數(shù)對應(yīng)的位置是被開方數(shù)中的個位和十位。平方根中的十位數(shù)對應(yīng)的就是被開方數(shù)中的百位或百位、千位。

比如求9801的平方根，根據(jù)上面所述特點我們可以確定9801的平方根是個兩位數(shù)，并且01對應(yīng)的是平方根中的個位，98對應(yīng)的是平方根中的十位。

本步對口算開方很重要，因為如果判斷不出被開方數(shù)與開方結(jié)果間的位數(shù)對應(yīng)關(guān)系，就不知道結(jié)果是幾位數(shù)，也就無法正確地算出結(jié)果了。

第三步：根據(jù)第一步的對應(yīng)關(guān)系口算被開方數(shù)。

具體掌握了第一步和第二步的內(nèi)容后，我們就可以對被開方數(shù)開方了，并且如果熟練掌握方法的話可以看到被開方數(shù)直接報出開方結(jié)果。

這里需要說明的是，由于平方數(shù)與結(jié)果個位數(shù)直接不是一一對應(yīng)的關(guān)系，而是互補的數(shù)共同對應(yīng)一個數(shù)，所以這就涉及對被開方數(shù)判斷時選擇哪個的問題。由于互補的數(shù)一個是大于5的，一個是小于5的，所以可以根據(jù)被開方數(shù)的大小確定。

下面通過例子具體介紹下這個過程。

例1：

一般情況下，大家看到這個題目會怎么做呢？

這里不介紹常規(guī)計算的方法，而是按照上面介紹的方式求得結(jié)果。

由于9801是開二次方，所以按照上面所述，01對應(yīng)算術(shù)平方根的個位，98對應(yīng)算術(shù)平方根的十位。

根據(jù)10以內(nèi)平方和平方數(shù)與結(jié)果個位數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，我們可以確定01中的個位是1，所以對應(yīng)的平方數(shù)是1或者9；98大于81，但是小于100，所以對應(yīng)的平方數(shù)只能是9.

下一步只要確定個位是1還是9就可以直接得出答案了。

那01中的1對應(yīng)的是選擇1還是9呢？

這要看被開方數(shù)的大小了。

由于被開方數(shù)中98大于81，也就是說98對應(yīng)的數(shù)是大于9的，而我們只能選擇9，所以01中的1對應(yīng)的數(shù)應(yīng)該選擇大的而不是小的，否則無法滿足這個條件。這樣個位我們選擇9.

所以9801的算術(shù)平方根就是99.

例2：

由于474552是開立方，按照前面介紹的特點，552對應(yīng)的是結(jié)果的個位，474對應(yīng)的是結(jié)果的十位。

由于552中個位數(shù)是2，根據(jù)立方數(shù)與結(jié)果個位數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系，可以直接寫出552對應(yīng)的結(jié)果個位是8.

根據(jù)10以內(nèi)的立方，474＞7=343且474<512=8，所以474對應(yīng)的立方數(shù)應(yīng)該是7.

所以474552的立方根是78.

大家可以按照上述方法口算以下題目：

1.求下列各數(shù)的算數(shù)平方根

1225 7921 9409 3721

2.求下列各數(shù)的立方根

571787 42875 274625 493039

提示：此法只適合平方根或立方根是兩位數(shù)的被開方數(shù)，如果平方根或立方根不是兩位數(shù)的整數(shù)的話不適合，不過可以確定其整數(shù)部分。