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由函數(shù)圖象求自變量的取值范圍,3步搞定(由函數(shù)圖象求自變量的取值范圍,3步搞定計算)

由函數(shù)圖象求自變量的取值范圍,3步搞定(由函數(shù)圖象求自變量的取值范圍,3步搞定計算)

今天我們聊聊初中數(shù)學考試中的一種常見題型,由函數(shù)圖象求自變量的取值范圍。

看一道例題:

如圖,一次函數(shù)y=x b的圖象與反比例函數(shù)y=k/x的圖象交于A、B兩點,與x軸交于點C,其中點A的坐標為(a,4),點C的坐標為(-2,0)。當x b>k/x時,求x的取值范圍。

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教學中發(fā)現(xiàn),很多同學在第一次做的時候,會很自然地把兩個函數(shù)表達式代入,變成一個一元二次不等式,然后……你懂的。

做不下去的原因有兩個,一是不知道怎么處理一元二次不等式,二是不知道還可以看圖象。

一元二次不等式的解法是高中的內(nèi)容,我們沒必要為了解這種題而急著學,畢竟用圖象已經(jīng)綽綽有余了。

那怎么解呢?

1.原理

怎樣從函數(shù)圖象看出函數(shù)值的大小關系呢?我們舉個例子,在同一個平面直角坐標系中,畫出兩個一次函數(shù)的圖象,一個是直線y1=x-2,另一個是直線y2=-2 x 1。

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由圖象可見,兩條直線有一個交點A(1,-1),它意味著當x=1時,y1=-1,y2=-1,所以y1=y2。

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過交點A畫x軸的垂線,垂線把整個平面分成左邊和右邊兩個區(qū)域。

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先看垂線的左邊,直線y1的圖象比直線y2的圖象要低,這意味著任意選定一個x,對應的y1都要小于y2,即當x<1時,y1<y2。

比如下面動圖中,點C在直線y1上,點D在直線y1上,兩點的橫坐標相同,可以看出,只要它們在垂線的左邊,點C的縱坐標就始終小于點D的縱坐標,也就是說,當x<1時,y1<y2。

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現(xiàn)在看垂線的右邊,直線y1的圖象比直線y2的圖象要高,這意味著任意選定一個x,對應的y1都要大于y2,即當x>1時,y1>y2。

再用一下剛才的動圖,還是那個點C和點D,可以看出,只要它們在垂線的右邊,點C的縱坐標就始終大于點D的縱坐標,也就是說,當x>1時,y1>y2。

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從這里,我們可以總結(jié)兩個要點:

① 比較函數(shù)值的大小,可以看函數(shù)圖象的相對高低。圖象高的,函數(shù)值大;圖象低的,函數(shù)值小;圖象交點處,函數(shù)值相等。

② 要想確定自變量的取值范圍,找到圖象的交點是關鍵。

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2.思路

回到開頭的例題,為了便于區(qū)分,不妨把一次函數(shù)記為y1=x b,把反比例函數(shù)記為y2=k/x,題目要我們做的,就是求出當y1>y2時,自變量x的取值范圍。根據(jù)上述兩個要點,我們可以通過三個步驟解決:

第1步,畫界線

由題意,函數(shù)y1和y2交于點A和點B。先求出兩個函數(shù)的表達式,再聯(lián)立方程組,可以求得點A的坐標為(2,4),點B的坐標為(-4,-2)。

分別過點A和點B作x軸的垂線,一條是直線x=-4,另一條是直線x=2,它們都是我們需要的界線。

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還有別的界線嗎?有,就是y軸。因為反比例函數(shù)y2=k/x的圖象是雙曲線,而這雙曲線是無限接近y軸,但就是不會碰到,所以y軸也要考慮在內(nèi)。可以這么說,y軸是反比例函數(shù)y=k/x圖象的天然界線。

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第2步,比高低

三條界線,把整個平面分成四個區(qū)域。下一步,我們就逐個區(qū)域,來比較y1和y2圖象的高低。

在直線x=-4左側(cè),y1圖象在y2圖象的下邊,表明當x<-4時,y1<y2,不符合題意;在直線x=-4和y軸之間,y1圖象在y2圖象的上邊,表明當-4<x<0時,y1>y2,符合題意;在y軸和直線x=2之間,y1圖象在y2圖象的下邊,表明當0<x<2時,y1<y2,不符合題意;在直線x=2右側(cè),y1圖象在y2圖象的上邊,表明當x>2時,y1>y2,符合題意。

我們在符合題意的區(qū)域內(nèi)標上自變量“x”,方便下一步。

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第3步,寫范圍

根據(jù)上一步的分析,以及標記的“x”,我們可以總結(jié)x的取值范圍,就是-4<x<0或x>2,問題解決了。

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總結(jié)一下,由函數(shù)圖象求自變量范圍的步驟:

第1步,畫界線:過函數(shù)圖象的交點,作x軸的垂線;如果有反比例函數(shù)y=k/x,y軸也要算進去。

第2步,比高低:界線把平面分出若干個區(qū)域,逐個比較函數(shù)圖象的高低,從而得到對應函數(shù)值的大小關系。

第3步,寫范圍:找齊符合題意的區(qū)域,把對應的自變量的范圍綜合起來,得到答案。

你有什么好的方法嗎?歡迎在評論區(qū)留言,期待你的分享!

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