今天我們聊聊初中數(shù)學(xué)考試中的一種常見(jiàn)題型,由函數(shù)圖象求自變量的取值范圍。
看一道例題:
如圖,一次函數(shù)y=x b的圖象與反比例函數(shù)y=k/x的圖象交于A、B兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)C,其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,4),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,0)。當(dāng)x b>k/x時(shí),求x的取值范圍。
教學(xué)中發(fā)現(xiàn),很多同學(xué)在第一次做的時(shí)候,會(huì)很自然地把兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式代入,變成一個(gè)一元二次不等式,然后……你懂的。
做不下去的原因有兩個(gè),一是不知道怎么處理一元二次不等式,二是不知道還可以看圖象。
一元二次不等式的解法是高中的內(nèi)容,我們沒(méi)必要為了解這種題而急著學(xué),畢竟用圖象已經(jīng)綽綽有余了。
那怎么解呢?
1.原理
怎樣從函數(shù)圖象看出函數(shù)值的大小關(guān)系呢?我們舉個(gè)例子,在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中,畫(huà)出兩個(gè)一次函數(shù)的圖象,一個(gè)是直線y1=x-2,另一個(gè)是直線y2=-2 x 1。
由圖象可見(jiàn),兩條直線有一個(gè)交點(diǎn)A(1,-1),它意味著當(dāng)x=1時(shí),y1=-1,y2=-1,所以y1=y2。
過(guò)交點(diǎn)A畫(huà)x軸的垂線,垂線把整個(gè)平面分成左邊和右邊兩個(gè)區(qū)域。
先看垂線的左邊,直線y1的圖象比直線y2的圖象要低,這意味著任意選定一個(gè)x,對(duì)應(yīng)的y1都要小于y2,即當(dāng)x<1時(shí),y1<y2。
比如下面動(dòng)圖中,點(diǎn)C在直線y1上,點(diǎn)D在直線y1上,兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同,可以看出,只要它們?cè)诖咕€的左邊,點(diǎn)C的縱坐標(biāo)就始終小于點(diǎn)D的縱坐標(biāo),也就是說(shuō),當(dāng)x<1時(shí),y1<y2。
現(xiàn)在看垂線的右邊,直線y1的圖象比直線y2的圖象要高,這意味著任意選定一個(gè)x,對(duì)應(yīng)的y1都要大于y2,即當(dāng)x>1時(shí),y1>y2。
再用一下剛才的動(dòng)圖,還是那個(gè)點(diǎn)C和點(diǎn)D,可以看出,只要它們?cè)诖咕€的右邊,點(diǎn)C的縱坐標(biāo)就始終大于點(diǎn)D的縱坐標(biāo),也就是說(shuō),當(dāng)x>1時(shí),y1>y2。
從這里,我們可以總結(jié)兩個(gè)要點(diǎn):
① 比較函數(shù)值的大小,可以看函數(shù)圖象的相對(duì)高低。圖象高的,函數(shù)值大;圖象低的,函數(shù)值??;圖象交點(diǎn)處,函數(shù)值相等。
② 要想確定自變量的取值范圍,找到圖象的交點(diǎn)是關(guān)鍵。
2.思路
回到開(kāi)頭的例題,為了便于區(qū)分,不妨把一次函數(shù)記為y1=x b,把反比例函數(shù)記為y2=k/x,題目要我們做的,就是求出當(dāng)y1>y2時(shí),自變量x的取值范圍。根據(jù)上述兩個(gè)要點(diǎn),我們可以通過(guò)三個(gè)步驟解決:
第1步,畫(huà)界線
由題意,函數(shù)y1和y2交于點(diǎn)A和點(diǎn)B。先求出兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式,再聯(lián)立方程組,可以求得點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,4),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-4,-2)。
分別過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B作x軸的垂線,一條是直線x=-4,另一條是直線x=2,它們都是我們需要的界線。
還有別的界線嗎?有,就是y軸。因?yàn)榉幢壤瘮?shù)y2=k/x的圖象是雙曲線,而這雙曲線是無(wú)限接近y軸,但就是不會(huì)碰到,所以y軸也要考慮在內(nèi)??梢赃@么說(shuō),y軸是反比例函數(shù)y=k/x圖象的天然界線。
第2步,比高低
三條界線,把整個(gè)平面分成四個(gè)區(qū)域。下一步,我們就逐個(gè)區(qū)域,來(lái)比較y1和y2圖象的高低。
在直線x=-4左側(cè),y1圖象在y2圖象的下邊,表明當(dāng)x<-4時(shí),y1<y2,不符合題意;在直線x=-4和y軸之間,y1圖象在y2圖象的上邊,表明當(dāng)-4<x<0時(shí),y1>y2,符合題意;在y軸和直線x=2之間,y1圖象在y2圖象的下邊,表明當(dāng)0<x<2時(shí),y1<y2,不符合題意;在直線x=2右側(cè),y1圖象在y2圖象的上邊,表明當(dāng)x>2時(shí),y1>y2,符合題意。
我們?cè)诜项}意的區(qū)域內(nèi)標(biāo)上自變量“x”,方便下一步。
第3步,寫(xiě)范圍
根據(jù)上一步的分析,以及標(biāo)記的“x”,我們可以總結(jié)x的取值范圍,就是-4<x<0或x>2,問(wèn)題解決了。
總結(jié)一下,由函數(shù)圖象求自變量范圍的步驟:
第1步,畫(huà)界線:過(guò)函數(shù)圖象的交點(diǎn),作x軸的垂線;如果有反比例函數(shù)y=k/x,y軸也要算進(jìn)去。
第2步,比高低:界線把平面分出若干個(gè)區(qū)域,逐個(gè)比較函數(shù)圖象的高低,從而得到對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小關(guān)系。
第3步,寫(xiě)范圍:找齊符合題意的區(qū)域,把對(duì)應(yīng)的自變量的范圍綜合起來(lái),得到答案。
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