今天我們聊聊初中數(shù)學(xué)考試中的一種常見(jiàn)題型，由函數(shù)圖象求自變量的取值范圍。
看一道例題：
如圖，一次函數(shù)y=x b的圖象與反比例函數(shù)y=k/x的圖象交于A、B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，4），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2,0）。當(dāng)x b＞k/x時(shí)，求x的取值范圍。
教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，很多同學(xué)在第一次做的時(shí)候，會(huì)很自然地把兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式代入，變成一個(gè)一元二次不等式，然后……你懂的。
做不下去的原因有兩個(gè)，一是不知道怎么處理一元二次不等式，二是不知道還可以看圖象。
一元二次不等式的解法是高中的內(nèi)容，我們沒(méi)必要為了解這種題而急著學(xué)，畢竟用圖象已經(jīng)綽綽有余了。
那怎么解呢？
1.原理
怎樣從函數(shù)圖象看出函數(shù)值的大小關(guān)系呢？我們舉個(gè)例子，在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出兩個(gè)一次函數(shù)的圖象，一個(gè)是直線y1=x-2，另一個(gè)是直線y2=-2 x 1。
由圖象可見(jiàn)，兩條直線有一個(gè)交點(diǎn)A（1，-1），它意味著當(dāng)x=1時(shí)，y1=-1，y2=-1，所以y1=y2。
過(guò)交點(diǎn)A畫(huà)x軸的垂線，垂線把整個(gè)平面分成左邊和右邊兩個(gè)區(qū)域。
先看垂線的左邊，直線y1的圖象比直線y2的圖象要低，這意味著任意選定一個(gè)x，對(duì)應(yīng)的y1都要小于y2，即當(dāng)x＜1時(shí)，y1＜y2。
比如下面動(dòng)圖中，點(diǎn)C在直線y1上，點(diǎn)D在直線y1上,兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，可以看出，只要它們?cè)诖咕€的左邊，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)就始終小于點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，也就是說(shuō)，當(dāng)x＜1時(shí)，y1＜y2。
現(xiàn)在看垂線的右邊，直線y1的圖象比直線y2的圖象要高，這意味著任意選定一個(gè)x，對(duì)應(yīng)的y1都要大于y2，即當(dāng)x＞1時(shí)，y1＞y2。
再用一下剛才的動(dòng)圖，還是那個(gè)點(diǎn)C和點(diǎn)D，可以看出，只要它們?cè)诖咕€的右邊，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)就始終大于點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，也就是說(shuō)，當(dāng)x＞1時(shí)，y1＞y2。
從這里，我們可以總結(jié)兩個(gè)要點(diǎn)：
① 比較函數(shù)值的大小，可以看函數(shù)圖象的相對(duì)高低。圖象高的，函數(shù)值大；圖象低的，函數(shù)值??；圖象交點(diǎn)處，函數(shù)值相等。
② 要想確定自變量的取值范圍，找到圖象的交點(diǎn)是關(guān)鍵。
2.思路
回到開(kāi)頭的例題，為了便于區(qū)分，不妨把一次函數(shù)記為y1=x b，把反比例函數(shù)記為y2=k/x，題目要我們做的，就是求出當(dāng)y1＞y2時(shí)，自變量x的取值范圍。根據(jù)上述兩個(gè)要點(diǎn)，我們可以通過(guò)三個(gè)步驟解決：
第1步，畫(huà)界線
由題意，函數(shù)y1和y2交于點(diǎn)A和點(diǎn)B。先求出兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式，再聯(lián)立方程組，可以求得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4，-2）。
分別過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)B作x軸的垂線，一條是直線x=-4，另一條是直線x=2，它們都是我們需要的界線。
還有別的界線嗎？有，就是y軸。因?yàn)榉幢壤瘮?shù)y2=k/x的圖象是雙曲線，而這雙曲線是無(wú)限接近y軸，但就是不會(huì)碰到，所以y軸也要考慮在內(nèi)?？梢赃@么說(shuō)，y軸是反比例函數(shù)y=k/x圖象的天然界線。
第2步，比高低
三條界線，把整個(gè)平面分成四個(gè)區(qū)域。下一步，我們就逐個(gè)區(qū)域，來(lái)比較y1和y2圖象的高低。
在直線x=-4左側(cè)，y1圖象在y2圖象的下邊，表明當(dāng)x＜-4時(shí)，y1＜y2，不符合題意；在直線x=-4和y軸之間，y1圖象在y2圖象的上邊，表明當(dāng)-4＜x＜0時(shí)，y1＞y2，符合題意；在y軸和直線x=2之間，y1圖象在y2圖象的下邊，表明當(dāng)0＜x＜2時(shí)，y1＜y2，不符合題意；在直線x=2右側(cè)，y1圖象在y2圖象的上邊，表明當(dāng)x＞2時(shí)，y1＞y2，符合題意。
我們?cè)诜项}意的區(qū)域內(nèi)標(biāo)上自變量“x”，方便下一步。
第3步，寫(xiě)范圍
根據(jù)上一步的分析，以及標(biāo)記的“x”，我們可以總結(jié)x的取值范圍，就是-4＜x＜0或x＞2，問(wèn)題解決了。
總結(jié)一下，由函數(shù)圖象求自變量范圍的步驟：
第1步，畫(huà)界線：過(guò)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，作x軸的垂線；如果有反比例函數(shù)y=k/x，y軸也要算進(jìn)去。
第2步，比高低：界線把平面分出若干個(gè)區(qū)域，逐個(gè)比較函數(shù)圖象的高低，從而得到對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小關(guān)系。
第3步，寫(xiě)范圍：找齊符合題意的區(qū)域，把對(duì)應(yīng)的自變量的范圍綜合起來(lái)，得到答案。
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