今天和大家一起復(fù)習(xí)的是洛必達(dá)法則,這個法則非常重要,在許多問題的解法當(dāng)中都有出現(xiàn)。雖然時隔多年,許多知識點(diǎn)都已經(jīng)還給老師了,但是我仍然還記得當(dāng)年大一的時候,高數(shù)老師在講臺上慷慨激昂的樣子。
上篇文章當(dāng)中我們回顧了微分中值定理,今天要說的洛必達(dá)法則其實(shí)是微分中值定理一個經(jīng)典的應(yīng)用。所以有遺忘或者是新關(guān)注的同學(xué)可以點(diǎn)下下方的鏈接回顧一下上篇文章的內(nèi)容。
用處
我們學(xué)習(xí)的目的往往很樸素,就是學(xué)以致用,之前的時候我總覺得這種想法有些現(xiàn)實(shí),后來我發(fā)現(xiàn)很多學(xué)了不能致用的知識都忘得差不多了。所以盡管我們的心態(tài)要放好,但是操作的時候可以實(shí)際一些,先從用處入手,也許能更好地理解也說不定。
洛必達(dá)法則的應(yīng)用場景非常簡單,就是能解決一些一下子無法求解的極限問題。不知道大家有沒有發(fā)現(xiàn),不管在什么領(lǐng)域,總有一些一下子無法解決的問題。伴隨著對這些問題的研究,我們的技術(shù)和理論在不斷的進(jìn)步,工作在不斷地簡化,效率越來越高。無論是數(shù)學(xué)上某個領(lǐng)域的突破還是計(jì)算機(jī)當(dāng)中某些工具的迭代和演進(jìn),莫不如此。
我們之前介紹極限的文章當(dāng)中講過一道例題:
在這題當(dāng)中,由于x趨向于0的時候, sinx 和x都趨向于0,我們要計(jì)算0除以0的結(jié)果,當(dāng)時為了解決這個問題,我們用上了夾逼法,對它進(jìn)行了縮放之后才得到了極限。類似的極限還有很多,本質(zhì)上來說問題在于當(dāng)分子和分母都趨向于0時,我們很難計(jì)算得到結(jié)果。
再比如x/x^2,這個問題很簡單,只要進(jìn)行約分,那么就是 1/x 的極限,x趨向于0時,顯然 1/x 趨向于無窮大。但如果不約分呢?它就是一個極限0除以極限0的問題,和上面的結(jié)果不同,它的比值結(jié)果是無窮大。
洛必達(dá)法則就是為了解決上述這些極限問題而出現(xiàn)的。
定義
洛必達(dá)法則的本質(zhì)是一個定理,它規(guī)定,如果一個形如
的極限,如果它滿足:
- x趨向于常數(shù)a時,函數(shù)f(x)和F(x)都趨向于0
- 在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi),f(x)和F(x)的導(dǎo)數(shù)都存在,并且F'(x) 不等于 0
- 存在 lim f'(x)/F'(x)
那么:
也就是當(dāng)變量趨向于一個常數(shù)時,如果分子分母函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在,那么我們可以用導(dǎo)數(shù)的極限比值來代替原函數(shù)的比值。
我們來試著證明這個定理,如果你回顧了微分中值定理的話,這個定理的證明非常簡單。我們來試一下證明。
證明
由于函數(shù)在a點(diǎn)的去心鄰域可導(dǎo),也就是說函數(shù)在這個a的去心鄰域內(nèi)連續(xù)。那么我們套用柯西中值定理,在x趨向于a時,可以得到在區(qū)間(a, x)內(nèi)找到一個點(diǎn)ξ,使得:
到這里還差一點(diǎn),因?yàn)檫€少了一個條件,書上的解釋是由于函數(shù)比值的極限與函數(shù)值無關(guān),所以可以假設(shè)f(a)和F(a)等于0。我個人覺得這樣有些不厚道,就和證明過程里寫易證、易得是一樣的。其實(shí)我們只要將這兩做差,證明一下差值等于0即可。
通分之后,可以得到:
到這里,不難看出來,當(dāng)x趨向于a的時候,上面的差值趨向于0,所以:
由于x趨向于a的時候,ξ也趨向于a,那么我們就得到了:
嘗試
我們學(xué)會了洛必達(dá)法則之后就可以活學(xué)活用來解決一些比較棘手的極限問題了。比如剛才我們舉的例子就再也不是問題了。
再來看一個:
到這里我們還是無法得到結(jié)果,看樣子是卡殼了。但是別著急,洛必達(dá)法則是可以嵌套使用的。原因很簡單,只要我們把 f'(x) 看成是新的 f(x),F(xiàn)'(x) 看成是新的 F(x),只要新的函數(shù)還滿足洛必達(dá)法則的使用條件,那么我們可以繼續(xù)使用洛必達(dá)法則。也就是說,我們可以得到:
當(dāng)然使用嵌套也存在前提,前提就是二階導(dǎo)數(shù)存在,并且 F''(x) 不等于0。同樣的道理,只要高階導(dǎo)數(shù)存在,并且分母不為0,我們可以一直嵌套下去。所以洛必達(dá)法則也可以稱為套娃法則[狗頭]。有了套娃之后,問題就簡單了,上面的問題我們只要往下套就行了:
變形
除了套娃之外,洛必達(dá)法則還存在一個著名的變形。前面討論的使用范疇都是在x趨向于一個常數(shù)的情況下的,其實(shí)在一些特殊的情況下,當(dāng)x趨向于正無窮時,我們一樣可以套用洛必達(dá)法則。和基礎(chǔ)版本一樣,同樣需要函數(shù)f(x)和F(x)滿足一些條件:
- x趨向于正無窮時,f(x)和F(x)同時趨向于0或者無窮
- 存在N使得當(dāng)|x| > N時,f'(x)和F'(x)都存在,并且F'(x)不等于0
- 存在lim f'(x)/F'(x)
我們來看個例子:
我們可以看出來,當(dāng)x趨向于無窮的時候,分子分母都趨向于無窮。所以我們可以使用洛必達(dá)法則:
總結(jié)
洛必達(dá)法則在高數(shù)當(dāng)中非常重要,尤其是在計(jì)算極限的時候,很多看起來很麻煩的極限在經(jīng)過洛必達(dá)法則的轉(zhuǎn)換之后說不定就簡單得多。
但是關(guān)于洛必達(dá)法則使用的限制看起來有些麻煩,其實(shí)我們只需要牢記兩點(diǎn)即可。第一點(diǎn)是不管x趨向于什么值,只要保證分子分母同時趨向于0或者是無窮,并且導(dǎo)數(shù)存在,且分母的導(dǎo)數(shù)不為0即可。也就是說如果分子分母的極限不同時為0或者無窮大,則不能使用洛必達(dá)法則。這一點(diǎn)一定要牢記,因?yàn)樵谖覀兌啻问褂寐灞剡_(dá)法則的過程當(dāng)中,很有可能出現(xiàn)分子分母不在滿足這個條件的情況,我們在使用的時候一定要銘記。
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參考資料
維基百科
高等數(shù)學(xué)(上海交大出版社)
程序員的數(shù)學(xué)