首先有下面定理：
這里的符號(hào)
分別表示恒等映射和函數(shù)映射。
上述證明中用到的定理2和定理4分別如下：
以上定理7容易看懂。
這個(gè)定義與自然數(shù)集的定義相對(duì)比：
前者是阿列夫?，后者是阿列夫零??。
以上的證明比較簡(jiǎn)單，只要建立一個(gè)相對(duì)應(yīng)的函數(shù)就可以了。
另外，集合（0，1）和集合[0,1]對(duì)等，是因?yàn)閮烧叨际菬o(wú)限集，而集合（0，1）是集合[0,1]的真子集，按照定理2即可得出結(jié)論。
由以上結(jié)論還可以推測(cè)，全體實(shí)數(shù)集合與（0，1）中的任何一個(gè)真子集都等勢(shì)，也就是任意一個(gè)開區(qū)間，無(wú)論這個(gè)開區(qū)間多小。
以上推理表示，無(wú)理數(shù)集合實(shí)際上包括有理數(shù)集合與無(wú)理數(shù)集合兩部分，而且有理數(shù)集合可數(shù)無(wú)理數(shù)集合不可數(shù)，所以我們可以認(rèn)為，無(wú)理數(shù)集合中的元素個(gè)數(shù)必有理數(shù)集合多得多。
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