首先有下面定理:
這里的符號(hào)
分別表示恒等映射和函數(shù)映射。
上述證明中用到的定理2和定理4分別如下:
以上定理7容易看懂。
這個(gè)定義與自然數(shù)集的定義相對(duì)比:
前者是阿列夫?,后者是阿列夫零??。
以上的證明比較簡(jiǎn)單,只要建立一個(gè)相對(duì)應(yīng)的函數(shù)就可以了。
另外,集合(0,1)和集合[0,1]對(duì)等,是因?yàn)閮烧叨际菬o(wú)限集,而集合(0,1)是集合[0,1]的真子集,按照定理2即可得出結(jié)論。
由以上結(jié)論還可以推測(cè),全體實(shí)數(shù)集合與(0,1)中的任何一個(gè)真子集都等勢(shì),也就是任意一個(gè)開區(qū)間,無(wú)論這個(gè)開區(qū)間多小。
以上推理表示,無(wú)理數(shù)集合實(shí)際上包括有理數(shù)集合與無(wú)理數(shù)集合兩部分,而且有理數(shù)集合可數(shù)無(wú)理數(shù)集合不可數(shù),所以我們可以認(rèn)為,無(wú)理數(shù)集合中的元素個(gè)數(shù)必有理數(shù)集合多得多。