看到這個題目，您或許會有兩個想法：
1.按按計算器就知道了，比如：√2=2^0.5=1.4142135623730950488016887242097……；
2.是不是要介紹“手算開平方”？實在抱歉，曾經(jīng)的我也不是個十分專心的學(xué)生，竟是忘了。當(dāng)然，百度一下，再度鉆研貼文也是可以的，不過興趣待定。
其實，本文想說的還就是和想法1有關(guān)。您有沒有想過：計算器又是怎樣計算的呢？
我不確定計算器背后的算法一定是什么，但我確定的知道一種比較可行的方法：利用迭代函數(shù)迭代計算n次方根。今天就先來看看“二次方根”或“平方根”的計算方法。
二次方根迭代函數(shù)如下：
f(x)=x/2 C/(2*x)
其中：
x^2=C
或
C^0.5=x
即：函數(shù)中的C是被開方數(shù)，x是求解目標(biāo)“二次方根”。
（備注：呃，請不要問我這個迭代函數(shù)是怎么來的，據(jù)說和“泰勒級數(shù)”有關(guān)，這得從“數(shù)學(xué)分析”中尋找答案，汗……）
什么是“迭代”？
①猜測一個初始值x0，比如：x0=1（不會猜，就選1）；
②計算函數(shù)值x1，其中：x1=f(x0)，即把x0代入迭代函數(shù)求值；
③迭代：x0=x1；
④反復(fù)循環(huán)②③兩步直至符合指定的精度要求。
可見：迭代就是把上一次輸出的結(jié)果作為下一次輸入的結(jié)果并反復(fù)執(zhí)行。
這樣做神奇嗎？來讓我們試試。
例1.求根號2的值。
①x0=1
②x1= x/2 C/(2*x)=1/2 2/(2*1)=1.5
③x0=x1=1.5
④x1= x/2 C/(2*x)=1.5/2 2/(2*1.5)≈1.416666667
⑤x0=x1=1.416666667
⑥x1= x/2 C/(2*x)=1.416666667/2 2/(2*1.416666667)≈1.414215686
⑦x0=x1=1.414215686
⑧x1= x/2 C/(2*x)=1.414215686/2 2/(2*1.414215686)≈1.414213562
⑨……
只需迭代4次就可以得到9位小數(shù)精度，足夠應(yīng)付很多計算需要了。
例2.求1234567的平方根。
呵呵，手算基本是不可能的，小數(shù)位數(shù)多，會讓人抓狂的，下面是電子表格計算的數(shù)據(jù)，供參考：
第1次 1
第2次 617284
第3次 308643
第4次 154323.5
第5次 77165.74993
第6次 38590.87441
第7次 19311.43279
第8次 9687.68106
第9次 4907.558926
第10次 2579.561651
第11次 1529.078654
第12次 1168.235696
第13次 1112.507369
第14次 1111.111582
第15次 1111.110706
……
迭代了15次后，達(dá)到了一般穩(wěn)定精度要求。不過，如果初始值不是1，而是與準(zhǔn)確值更接近一些，比如1000，則迭代次數(shù)會大幅下降，如下：
第1次 1000
第2次 1117.2835
第3次 1111.127757
第4次 1111.110706
……
僅需4次。初值的選擇是很重要的，好的初值估計，算是核心技術(shù)。
本文算是幫您打開了一扇門，但同時，您會發(fā)現(xiàn)更多關(guān)上的門，比如：三次方根呢？四次、五次、小數(shù)次、無理數(shù)次……方根呢？比如：被開方數(shù)是小數(shù)、負(fù)數(shù)、無理數(shù)……呢？呵呵，這會讓我們頭很大的。
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