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高考高頻考點:三個重要公式,解決拋物線弦長問題(拋物線弦長公式秒殺)

圓錐曲線,是由一平面截二次錐面得到的曲線,包括橢圓(圓為橢圓的特例)、拋物線、雙曲線。拋物線是初中高中階段重要的一個知識點,高中主要是增加了焦點、準線還有定義,這也提示我們這將是它的一個重點,所以在學習的時候要多多理會它的含義,并能夠靈活運用.

高考高頻考點:三個重要公式,解決拋物線弦長問題(拋物線弦長公式秒殺)

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是平面解析幾何的重要內(nèi)容之一,也是高考的熱點,反復(fù)考查。

今天我們就2019年全國卷1(理科)第19題,一起探究一下直線與拋物線相關(guān)的弦長問題中需要同學們重點理解以及記憶的幾個內(nèi)容,包括韋達定理、拋物線定義推論以及弦長公式

試題再現(xiàn)

高考高頻考點:三個重要公式,解決拋物線弦長問題(拋物線弦長公式秒殺)

分析

先設(shè)點P(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2)

(1)根據(jù)韋達定理以及拋物線定義,可求得直線l的方程。

(2)由向量關(guān)系得到t-x1=3(x2-t),結(jié)合韋達定理求得t、x1、x2的值,利用弦長定理可得|AB|的值。

解答

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在求解拋物線弦長問題時,先設(shè)點坐標,寫出直線方程,再將其代入拋物線方程中,根據(jù)題目需要消去x或y,得到關(guān)于y或x的一元二次方程,這個方程必有兩根,這時可以利用韋達定理求出兩根的和及乘積,以供后續(xù)使用。

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韋達定理


(1)

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拋物線是指平面內(nèi)到一個定點F(焦點)和一條定直線l(準線)距離相等的點的軌跡。

當拋物線開口向右時,有|AF| |BF|=x1 x2 p:

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|AF| |BF|=x1 x2 p

同理:

當拋物線開口向左時,有|AF| |BF|=-x1-x2 p;

當拋物線開口向上時,有|AF| |BF|=y1 y2 p;

當拋物線開口向右時,有|AF| |BF|=-y1-y2 p。


(2)

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已知直線的斜率,以及弦|AB|兩端點的橫坐標或縱坐標,求弦長時,最快方式是使用弦長公式。

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弦長公式

該公式由兩點間距離公式推導(dǎo)而來:

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弦長公式不僅可在拋物線弦長問題中使用,任何時候,只要知道線段兩端點橫坐標/縱坐標以及斜率時均可使用,也算是萬能公式了。


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