圓錐曲線，是由一平面截二次錐面得到的曲線，包括橢圓（圓為橢圓的特例）、拋物線、雙曲線。拋物線是初中高中階段重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，高中主要是增加了焦點(diǎn)、準(zhǔn)線還有定義，這也提示我們這將是它的一個(gè)重點(diǎn)，所以在學(xué)習(xí)的時(shí)候要多多理會(huì)它的含義，并能夠靈活運(yùn)用．
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是平面解析幾何的重要內(nèi)容之一，也是高考的熱點(diǎn)，反復(fù)考查。
今天我們就2019年全國(guó)卷1（理科）第19題，一起探究一下直線與拋物線相關(guān)的弦長(zhǎng)問題中需要同學(xué)們重點(diǎn)理解以及記憶的幾個(gè)內(nèi)容，包括韋達(dá)定理、拋物線定義推論以及弦長(zhǎng)公式。
試題再現(xiàn)
分析
先設(shè)點(diǎn)P(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2)
（1）根據(jù)韋達(dá)定理以及拋物線定義，可求得直線l的方程。
（2）由向量關(guān)系得到t-x1=3(x2-t)，結(jié)合韋達(dá)定理求得t、x1、x2的值，利用弦長(zhǎng)定理可得|AB|的值。
解答
在求解拋物線弦長(zhǎng)問題時(shí)，先設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，寫出直線方程，再將其代入拋物線方程中，根據(jù)題目需要消去x或y，得到關(guān)于y或x的一元二次方程，這個(gè)方程必有兩根，這時(shí)可以利用韋達(dá)定理求出兩根的和及乘積，以供后續(xù)使用。
韋達(dá)定理
（1）
拋物線是指平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F（焦點(diǎn)）和一條定直線l（準(zhǔn)線）距離相等的點(diǎn)的軌跡。
當(dāng)拋物線開口向右時(shí)，有|AF| |BF|=x1 x2 p：
|AF| |BF|=x1 x2 p
同理：
當(dāng)拋物線開口向左時(shí)，有|AF| |BF|=-x1-x2 p；
當(dāng)拋物線開口向上時(shí)，有|AF| |BF|=y1 y2 p；
當(dāng)拋物線開口向右時(shí)，有|AF| |BF|=-y1-y2 p。
(2)
已知直線的斜率，以及弦|AB|兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，求弦長(zhǎng)時(shí)，最快方式是使用弦長(zhǎng)公式。
弦長(zhǎng)公式
該公式由兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)而來(lái)：
弦長(zhǎng)公式不僅可在拋物線弦長(zhǎng)問題中使用，任何時(shí)候，只要知道線段兩端點(diǎn)橫坐標(biāo)/縱坐標(biāo)以及斜率時(shí)均可使用，也算是萬(wàn)能公式了。
我是氵林雨老師，每天發(fā)布中小學(xué)數(shù)學(xué)例題講解文章、視頻，如果覺得有益的話請(qǐng)點(diǎn)個(gè)贊吧，歡迎您收藏、分享和關(guān)注，感謝！
