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頂點坐標公式和二次函數最值問題(頂點坐標公式和二次函數最值問題的區(qū)別)

有一種重要的數學思想叫做函數思想, 就是用運動、變化的觀點來分析問題中的數量關系,通過函數的形式,把這種關系表示出來,運用函數的概念和性質去分析問題、解決問題.

函數思想在解決問題中有以下幾個方面的應用:

1. 利用函數圖象解決問題;

2. 用函數的觀點研究方程(組)、不等式(組) 的解;

3. 建立目標函數,運用函數的性質去解決問題.

函數是初中數學的主要內容,有正比例函數、反比例函數、一次函次和二次函數,要研究它們的性質和圖象.

古典數學又稱為常量數學,而函數則是變量數學的重要標志。法國數學家勒內·笛卡兒在他的《幾何學》中第一次出現了變量和函數的思想。對此恩格斯給予了極高的評價:“數學中轉折點是笛卡兒的變數,有了變數,運動進入了數學,有了變數,辯證法進入了數學,有了變數,微分和積分也就立刻成為必要的了?!?/p>

最值問題是歷史悠久富有魅力的難題,歷來頗受數學愛好者的青睞。關于二次函數的最值問題,常常會用到以下結論:

1、把二次函數的解析式化為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2 k,(a,h,k≠0)

當a>0時,(拋物線開口向上,圖象有最低點,)二次函數有最小值k。

當a<0時,(拋物線開口向下,圖象有最高點,)二次函數有最大值k。

2、把二次函數化為一般形式y(tǒng)=ax2 bx c,利用頂點坐標公式[-b/(2a),(4ac-b2)/(4a)]可求最大或最小值:

頂點坐標公式和二次函數最值問題(頂點坐標公式和二次函數最值問題的區(qū)別)

頂點坐標公式

當a>0時,(拋物線開口向上,圖象有最低點,)二次函數有最小值(4ac-b2)/(4a)。

當a<0時,(拋物線開口向下,圖象有最高點,)二次函數有最大值(4ac-b2)/(4a)。

以上結論是如何得到的呢?我們可以用配方法來探究一下。

頂點坐標公式和二次函數最值問題(頂點坐標公式和二次函數最值問題的區(qū)別)

最后一步是一個非常重要的結果,值得用下圖強調一下。

頂點坐標公式和二次函數最值問題(頂點坐標公式和二次函數最值問題的區(qū)別)

可以看作二次函數的頂點式

我們來分析一下它的含義。

頂點坐標公式和二次函數最值問題(頂點坐標公式和二次函數最值問題的區(qū)別)

也可以概括為:

把二次函數化為頂點式y(tǒng)=a(x-h)2 k

當a>0時,函數最小值為f(h)=k,

當a<0時,函數最大值為f(h)=k,

下面舉例說明以上結論的實際應用。

頂點坐標公式和二次函數最值問題(頂點坐標公式和二次函數最值問題的區(qū)別)

例一:如圖,△ABC 中,∠B=90°, AB =6cm, BC =12cm,點 P 從點 A 開始,沿 AB 邊向點 B 以每秒1cm的速度移動,點 Q 從點 B 開始,沿著 BC 邊向點 C 以每秒2cm的速度移動,如果 P 、 Q 同時出發(fā),問經過幾秒鐘△PBQ 的面積最大?最大面積是多少?

解析:本題需要用到函數思想,以已知條件為原料,所求答案為目標,通過構造函數,用運動和變化的觀點來分析和解決問題。

容易想到,設時間為自變量x,三角形面積為函數。求函數解析式需要用到小學學過的三角形面積公式。

三角形的兩條直角邊是變量,可以用勻速直線運動公式s=vt來描述。

據題意可寫出函數解析式,整理得

y=x(6-x)

這是一個二次函數:y=-x2 6x

由頂點坐標公式可知拋物線頂點坐標為(3,9),即當x=3時,函數最大值為9。

所以,經過3秒鐘△PBQ 的面積最大,最大面積是9(平方厘米)。

最后再順便說一下二次函數y=ax2 bx c,(a≠0)的參數a,b,c的含義:

a決定拋物線的開口方向,已知a和b可以求出拋物線的對稱軸,拋物線和y軸的交點坐標是(0,c),已知a,b,c可以用頂點坐標公式求出拋物線頂點坐標。

科學尚未普及,媒體還需努力。祝閱讀愉快,再見。

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