棱臺的體積公式，應(yīng)該算是數(shù)學(xué)公式中比較冷門的吧！反正老黃原先是沒有記住的。不過老黃不用參加高考，記不記得住，沒有什么關(guān)系。但是2022年參加全國卷I高考的考生，如果記不住這個公式，可就沒有那么幸運(yùn)了。
因為下面這道高考數(shù)學(xué)全國卷I的選擇題，如果不用棱臺的體積公式運(yùn)算的話，出錯的概率是很大的。老黃通過筆算，運(yùn)算了好幾次，得到的結(jié)果都不準(zhǔn)確。就算筆算能力很強(qiáng)，不運(yùn)用公式，也會浪費(fèi)許多寶貴的考場時間。題目是這樣的：
南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫. 已知該水庫水位為海拔148.5m時，相應(yīng)水面的面積為140.0km^2；水位為海拔157.5m時，相應(yīng)水面的面積為180.0km^2. 將該水庫在這兩個水位間的形狀看作一個棱臺，則該水庫水位從海拔148.5m上升到157.5m時，增加的水量約為( )（根號7≈2.65）
A. 1.0×10^9m^3；B. 1.2×10^9m^3；C. 1.4×10^9m^3；D. 1.6×10^9m^3
這道題在單位上雖然有點(diǎn)不同，但出題人并沒有在單位上設(shè)計陷阱，也算是手下留情了吧。
分析：只要考生記得棱臺的體積公式：V=h(S1 S2 根號(S1*S2))/3，就可以比較輕松地解決這個問題。因為題中各個數(shù)據(jù)都已經(jīng)明確給出來了，棱臺的高h(yuǎn)=9m, 一個底面面積S1=140.0×10^6m^2, 另一個底面面積S2=180×10^6m^2，代入公式就可以得到：
V=9×(140 180 根號(140×180))×10^6/3約等于1.4×10^9m^3.
因此選C. 如果用這種方法，解這道題，用不了3分鐘的時間。如果不記得公式，解決這個問題，倒也不算很難。就是很花時間，也很容易出錯。這時我們要把棱臺各側(cè)棱延長，使之變成一個棱錐，然后運(yùn)用“整個棱錐的體積，減去棱臺下方(或上方)棱錐的體積”的方法，來求棱臺的體積。如圖：
這時，仍記棱臺的高為h=9m，整個棱錐的高為h'，那么由圖中的相似三角形，可以得到h'/(h'-h)=根號(180/140)=3倍根號(1/7). 這是“相似圖形邊的比等于面積比的算術(shù)平方根”的應(yīng)用。
從而可以解得整個棱錐的高h(yuǎn)'約等于76m. 現(xiàn)在就可以求棱臺的體積了，并求得答案仍為C. 講起來很輕松，實際運(yùn)算過程很麻煩。這樣的解法，沒有5分鐘以上，是解不出來的。不要小看兩種解法之間2分多鐘的差別，對高考的數(shù)學(xué)成績，可能起到?jīng)Q定性的作用。
最后老黃要給大家推導(dǎo)一下，棱臺的體積公式是怎么得到的。因為只有經(jīng)過推導(dǎo)，才能把這個公式記牢。您也可以自己動手推推看。
由h'/(h'-h)=根號(S1/S2)，可以化得h'(根號(S1/S2)-1)=h根號(S1/S2)，
從而解得h'=h根號S1/(根號S1-根號S2)=h(S1 根號(S1S2))/(S1-S2).
V=hS1(S1 根號(S1S2))/(3(S1-S2))-S2(h(S1 根號(S1S2))/(S1-S2)-h)/3
=h((S1^2 S1根號(S1S2))/(S1-S2)-(S2^2 S2根號(S1S2))/(S1-S2))/3
=h(S1 S2 根號(S1*S2))/3.
證明的過程，其實就相當(dāng)于第二種方法的解題過程。這告訴我們，平時做了充分的準(zhǔn)備，高考時就會省時省力；平時沒有做足準(zhǔn)備，那么平時應(yīng)該做的事情，就會留到高考考場上去完成，費(fèi)時又費(fèi)力，必然會影響高考成績。這也是“考場一分鐘，場外十年功”的道理吧！
