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一個(gè)冷門的數(shù)學(xué)公式,2022高考全國(guó)卷I卻要用到,您會(huì)用嗎?(全國(guó)高考數(shù)學(xué)題)

棱臺(tái)的體積公式,應(yīng)該算是數(shù)學(xué)公式中比較冷門的吧!反正老黃原先是沒有記住的。不過老黃不用參加高考,記不記得住,沒有什么關(guān)系。但是2022年參加全國(guó)卷I高考的考生,如果記不住這個(gè)公式,可就沒有那么幸運(yùn)了。

因?yàn)橄旅孢@道高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷I的選擇題,如果不用棱臺(tái)的體積公式運(yùn)算的話,出錯(cuò)的概率是很大的。老黃通過筆算,運(yùn)算了好幾次,得到的結(jié)果都不準(zhǔn)確。就算筆算能力很強(qiáng),不運(yùn)用公式,也會(huì)浪費(fèi)許多寶貴的考場(chǎng)時(shí)間。題目是這樣的:

南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題,其中一部分水蓄入某水庫(kù). 已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí),相應(yīng)水面的面積為140.0km^2;水位為海拔157.5m時(shí),相應(yīng)水面的面積為180.0km^2. 將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái),則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí),增加的水量約為( )(根號(hào)7≈2.65)

A. 1.0×10^9m^3;B. 1.2×10^9m^3;C. 1.4×10^9m^3;D. 1.6×10^9m^3

這道題在單位上雖然有點(diǎn)不同,但出題人并沒有在單位上設(shè)計(jì)陷阱,也算是手下留情了吧。

一個(gè)冷門的數(shù)學(xué)公式,2022高考全國(guó)卷I卻要用到,您會(huì)用嗎?(全國(guó)高考數(shù)學(xué)題)

分析:只要考生記得棱臺(tái)的體積公式:V=h(S1 S2 根號(hào)(S1*S2))/3,就可以比較輕松地解決這個(gè)問題。因?yàn)轭}中各個(gè)數(shù)據(jù)都已經(jīng)明確給出來(lái)了,棱臺(tái)的高h(yuǎn)=9m, 一個(gè)底面面積S1=140.0×10^6m^2, 另一個(gè)底面面積S2=180×10^6m^2,代入公式就可以得到:

V=9×(140 180 根號(hào)(140×180))×10^6/3約等于1.4×10^9m^3.

一個(gè)冷門的數(shù)學(xué)公式,2022高考全國(guó)卷I卻要用到,您會(huì)用嗎?(全國(guó)高考數(shù)學(xué)題)

因此選C. 如果用這種方法,解這道題,用不了3分鐘的時(shí)間。如果不記得公式,解決這個(gè)問題,倒也不算很難。就是很花時(shí)間,也很容易出錯(cuò)。這時(shí)我們要把棱臺(tái)各側(cè)棱延長(zhǎng),使之變成一個(gè)棱錐,然后運(yùn)用“整個(gè)棱錐的體積,減去棱臺(tái)下方(或上方)棱錐的體積”的方法,來(lái)求棱臺(tái)的體積。如圖:

一個(gè)冷門的數(shù)學(xué)公式,2022高考全國(guó)卷I卻要用到,您會(huì)用嗎?(全國(guó)高考數(shù)學(xué)題)

這時(shí),仍記棱臺(tái)的高為h=9m,整個(gè)棱錐的高為h',那么由圖中的相似三角形,可以得到h'/(h'-h)=根號(hào)(180/140)=3倍根號(hào)(1/7). 這是“相似圖形邊的比等于面積比的算術(shù)平方根”的應(yīng)用。

從而可以解得整個(gè)棱錐的高h(yuǎn)'約等于76m. 現(xiàn)在就可以求棱臺(tái)的體積了,并求得答案仍為C. 講起來(lái)很輕松,實(shí)際運(yùn)算過程很麻煩。這樣的解法,沒有5分鐘以上,是解不出來(lái)的。不要小看兩種解法之間2分多鐘的差別,對(duì)高考的數(shù)學(xué)成績(jī),可能起到?jīng)Q定性的作用。

一個(gè)冷門的數(shù)學(xué)公式,2022高考全國(guó)卷I卻要用到,您會(huì)用嗎?(全國(guó)高考數(shù)學(xué)題)

最后老黃要給大家推導(dǎo)一下,棱臺(tái)的體積公式是怎么得到的。因?yàn)橹挥薪?jīng)過推導(dǎo),才能把這個(gè)公式記牢。您也可以自己動(dòng)手推推看。

由h'/(h'-h)=根號(hào)(S1/S2),可以化得h'(根號(hào)(S1/S2)-1)=h根號(hào)(S1/S2),

從而解得h'=h根號(hào)S1/(根號(hào)S1-根號(hào)S2)=h(S1 根號(hào)(S1S2))/(S1-S2).

V=hS1(S1 根號(hào)(S1S2))/(3(S1-S2))-S2(h(S1 根號(hào)(S1S2))/(S1-S2)-h)/3

=h((S1^2 S1根號(hào)(S1S2))/(S1-S2)-(S2^2 S2根號(hào)(S1S2))/(S1-S2))/3

=h(S1 S2 根號(hào)(S1*S2))/3.

一個(gè)冷門的數(shù)學(xué)公式,2022高考全國(guó)卷I卻要用到,您會(huì)用嗎?(全國(guó)高考數(shù)學(xué)題)

證明的過程,其實(shí)就相當(dāng)于第二種方法的解題過程。這告訴我們,平時(shí)做了充分的準(zhǔn)備,高考時(shí)就會(huì)省時(shí)省力;平時(shí)沒有做足準(zhǔn)備,那么平時(shí)應(yīng)該做的事情,就會(huì)留到高考考場(chǎng)上去完成,費(fèi)時(shí)又費(fèi)力,必然會(huì)影響高考成績(jī)。這也是“考場(chǎng)一分鐘,場(chǎng)外十年功”的道理吧!

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