棱臺(tái)的體積公式，應(yīng)該算是數(shù)學(xué)公式中比較冷門的吧！反正老黃原先是沒有記住的。不過老黃不用參加高考，記不記得住，沒有什么關(guān)系。但是2022年參加全國(guó)卷I高考的考生，如果記不住這個(gè)公式，可就沒有那么幸運(yùn)了。
因?yàn)橄旅孢@道高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷I的選擇題，如果不用棱臺(tái)的體積公式運(yùn)算的話，出錯(cuò)的概率是很大的。老黃通過筆算，運(yùn)算了好幾次，得到的結(jié)果都不準(zhǔn)確。就算筆算能力很強(qiáng)，不運(yùn)用公式，也會(huì)浪費(fèi)許多寶貴的考場(chǎng)時(shí)間。題目是這樣的：
南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫(kù). 已知該水庫(kù)水位為海拔148.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為140.0km^2；水位為海拔157.5m時(shí)，相應(yīng)水面的面積為180.0km^2. 將該水庫(kù)在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺(tái)，則該水庫(kù)水位從海拔148.5m上升到157.5m時(shí)，增加的水量約為( )（根號(hào)7≈2.65）
A. 1.0×10^9m^3；B. 1.2×10^9m^3；C. 1.4×10^9m^3；D. 1.6×10^9m^3
這道題在單位上雖然有點(diǎn)不同，但出題人并沒有在單位上設(shè)計(jì)陷阱，也算是手下留情了吧。
分析：只要考生記得棱臺(tái)的體積公式：V=h(S1 S2 根號(hào)(S1*S2))/3，就可以比較輕松地解決這個(gè)問題。因?yàn)轭}中各個(gè)數(shù)據(jù)都已經(jīng)明確給出來(lái)了，棱臺(tái)的高h(yuǎn)=9m, 一個(gè)底面面積S1=140.0×10^6m^2, 另一個(gè)底面面積S2=180×10^6m^2，代入公式就可以得到：
V=9×(140 180 根號(hào)(140×180))×10^6/3約等于1.4×10^9m^3.
因此選C. 如果用這種方法，解這道題，用不了3分鐘的時(shí)間。如果不記得公式，解決這個(gè)問題，倒也不算很難。就是很花時(shí)間，也很容易出錯(cuò)。這時(shí)我們要把棱臺(tái)各側(cè)棱延長(zhǎng)，使之變成一個(gè)棱錐，然后運(yùn)用“整個(gè)棱錐的體積，減去棱臺(tái)下方(或上方)棱錐的體積”的方法，來(lái)求棱臺(tái)的體積。如圖：
這時(shí)，仍記棱臺(tái)的高為h=9m，整個(gè)棱錐的高為h'，那么由圖中的相似三角形，可以得到h'/(h'-h)=根號(hào)(180/140)=3倍根號(hào)(1/7). 這是“相似圖形邊的比等于面積比的算術(shù)平方根”的應(yīng)用。
從而可以解得整個(gè)棱錐的高h(yuǎn)'約等于76m. 現(xiàn)在就可以求棱臺(tái)的體積了，并求得答案仍為C. 講起來(lái)很輕松，實(shí)際運(yùn)算過程很麻煩。這樣的解法，沒有5分鐘以上，是解不出來(lái)的。不要小看兩種解法之間2分多鐘的差別，對(duì)高考的數(shù)學(xué)成績(jī)，可能起到?jīng)Q定性的作用。
最后老黃要給大家推導(dǎo)一下，棱臺(tái)的體積公式是怎么得到的。因?yàn)橹挥薪?jīng)過推導(dǎo)，才能把這個(gè)公式記牢。您也可以自己動(dòng)手推推看。
由h'/(h'-h)=根號(hào)(S1/S2)，可以化得h'(根號(hào)(S1/S2)-1)=h根號(hào)(S1/S2)，
從而解得h'=h根號(hào)S1/(根號(hào)S1-根號(hào)S2)=h(S1 根號(hào)(S1S2))/(S1-S2).
V=hS1(S1 根號(hào)(S1S2))/(3(S1-S2))-S2(h(S1 根號(hào)(S1S2))/(S1-S2)-h)/3
=h((S1^2 S1根號(hào)(S1S2))/(S1-S2)-(S2^2 S2根號(hào)(S1S2))/(S1-S2))/3
=h(S1 S2 根號(hào)(S1*S2))/3.
證明的過程，其實(shí)就相當(dāng)于第二種方法的解題過程。這告訴我們，平時(shí)做了充分的準(zhǔn)備，高考時(shí)就會(huì)省時(shí)省力；平時(shí)沒有做足準(zhǔn)備，那么平時(shí)應(yīng)該做的事情，就會(huì)留到高考考場(chǎng)上去完成，費(fèi)時(shí)又費(fèi)力，必然會(huì)影響高考成績(jī)。這也是“考場(chǎng)一分鐘，場(chǎng)外十年功”的道理吧！
