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向量重心怎么證明1~2

向量重心的證明

向量重心是向量空間中的一個(gè)特殊點(diǎn),它的位置由向量重心的定義來確定,即

$c_i=\\frac{1}{2} \\sum_{j=1}^{n} x_{ij} w_{ij}$,

其中 $x_{ij}$ 是 $i$ 和 $j$ 兩個(gè)不同的向量,$w_{ij}$ 是它們之間的內(nèi)積,$n$ 是向量空間中所有向量的個(gè)數(shù)。

向量重心的定義可以用數(shù)學(xué)證明來證明。首先,我們需要定義向量空間。

一個(gè)向量空間是由一組向量組成的集合,這些向量可以被認(rèn)為是空間中的點(diǎn)。我們通常將向量空間定義為一個(gè)實(shí)數(shù)集合,其中所有向量都可以表示為一個(gè)實(shí)數(shù)。

接下來,我們需要證明向量重心的定義。假設(shè) $x_{ij}$ 是 $i$ 和 $j$ 兩個(gè)不同的向量,$w_{ij}$ 是它們之間的內(nèi)積,那么有:

$w_{ij} = \\frac{1}{2} \\sum_{k=1}^{n} x_{ik} x_{jk}$

$w_{ij} = \\frac{1}{2} \\sum_{k=1}^{n} x_{ik} w_{ik}$

$w_{ij} = \\frac{1}{2} \\sum_{k=1}^{n} x_{ik} w_{jk}$

我們可以將上式化簡(jiǎn),得到:

$\\frac{1}{2} \\sum_{k=1}^{n} x_{ik} w_{ik} = \\sum_{k=1}^{n} x_{ik} w_{ik}$

$\\frac{1}{2} \\sum_{k=1}^{n} x_{ik} w_{ik} = \\sum_{k=1}^{n} x_{ik} \\frac{1}{2} \\sum_{j=1}^{n} x_{jk} w_{jk}$

$\\frac{1}{2} \\sum_{k=1}^{n} x_{ik} w_{ik} = \\sum_{j=1}^{n} x_{ij} \\sum_{k=1}^{n} x_{jk} w_{jk}$

$\\frac{1}{2} \\sum_{k=1}^{n} x_{ik} w_{ik} = \\sum_{j=1}^{n} x_{ij} w_{ij}$

向量重心的定義已經(jīng)得到了證明。接下來,我們需要證明向量重心的位置是空間中的特殊點(diǎn)。

假設(shè) $c_i$ 是 $i$ 向量的重心,那么有:

$c_i = \\frac{1}{2} \\sum_{j=1}^{n} x_{ij} w_{ij}$

$c_i = \\frac{1}{2} \\sum_{j=1}^{n} x_{ij} \\frac{1}{2} \\sum_{k=1}^{n} x_{jk} w_{jk}$

$c_i = \\frac{1}{2} \\sum_{j=1}^{n} x_{ij} \\sum_{k=1}^{n} x_{jk} w_{jk}$

$c_i = \\frac{1}{2} \\sum_{j=1}^{n} x_{ij} w_{ij}$

向量重心的位置是空間中的特殊點(diǎn),因?yàn)橄蛄恐匦牡闹悼梢员槐硎緸橐唤M向量的內(nèi)積。

綜上所述,向量重心的證明已經(jīng)得到了

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