圓是古人最早認(rèn)知的幾何圖形之一，他們使用繩子在丈量土地時(shí)，發(fā)現(xiàn)只要一個(gè)人拿著繩子一端原地不動(dòng)，一人拉著繩子另一端移動(dòng)，就會(huì)畫出一個(gè)圓形。因而意識(shí)到圓有兩個(gè)核心要素：圓心和半徑。
圓的定義：在同一平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)（O）的距離（R）點(diǎn)的集合叫做圓，這個(gè)定點(diǎn)叫做圓的圓心（O）。
需要注意的是，我們通常說的圓是指圓周，就是到圓心距離相等的點(diǎn)的集合，并不包含圓心。這些點(diǎn)組成了圓形。在一些幾何題中的圓也不會(huì)給出圓心，如：一個(gè)三角形的外接圓或內(nèi)切圓，但只要給出了圓，就可以很容易獲得圓心。
圓的半徑：
連接圓上任意一點(diǎn)和圓心的線段叫做半徑（AO），一般用r（radius）表示。
圓的直徑：
初中教科書上說，連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。其實(shí)我們可以這樣理解，一條經(jīng)過圓心的直線與圓相交兩點(diǎn)，連接這兩點(diǎn)的線段叫做直徑（AB），一般用字母d（diameter）表示。由于圓心O到點(diǎn)A和點(diǎn)B的線段均等于半徑，所以直徑的長度是2倍的半徑長度，即d=2r。
圓的周長：
古代數(shù)學(xué)家將大小不同的圓環(huán)沿著直尺滾動(dòng)一周后發(fā)現(xiàn)，圓的周長總是以圓的直徑乘以某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是我們現(xiàn)在熟知的圓周率（π）。然而當(dāng)時(shí)的人們卻發(fā)現(xiàn)π不是一個(gè)整數(shù)，似乎無論如何都無法得到π的準(zhǔn)確值，這個(gè)困擾了人們上千年之久，直到1761年德國數(shù)學(xué)家約翰·海因里希·蘭伯特使用連分?jǐn)?shù)法證明了π是無理數(shù)（無限不循環(huán)小數(shù)）。在1844年法國數(shù)學(xué)家劉維爾證明了超越數(shù)的存在性之后的1882年，德國數(shù)學(xué)家林德曼證明了圓周率是超越數(shù)。圓周率π的神秘面紗才被真正揭開了。
既然圓的周長是某個(gè)常數(shù)乘以直徑，我們就先獲得了圓的周長的公式：
C=πd 或 C=2πr。
周長用字母C（circumference）表示
圓周率π的計(jì)算：
現(xiàn)在很多人都理所當(dāng)然認(rèn)為π是常數(shù)，但并沒有想過π為什么是常數(shù)？如果π不是常數(shù)，且是無限不循環(huán)小數(shù)，那么我們禪精竭慮計(jì)算出π的值將沒有任何意義。
首先，證明π是常數(shù)的過程：（沒學(xué)過“相似三角形”可以直接看結(jié)論）
作兩個(gè)以O(shè)點(diǎn)為圓心，半徑為R1和R2的同心圓。再分別作兩個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形（ n= 10），且保證正兩個(gè)正多邊形過圓心的對(duì)角線重合。兩個(gè)正多邊形的邊長分別為K1和K2。
我們通過：
從而我們獲得結(jié)論：
圓的周長（πd 或2πr）只跟半徑相關(guān)， 則π為常數(shù)。
π的計(jì)算：
與證明π為常數(shù)的方法一樣，人們?cè)谟?jì)算π的值同樣使用圓內(nèi)接正n邊形，n越大，正n邊形的周長越接近圓的周長，從而計(jì)算出更加精確的π值。這就是“割圓法”。
上圖是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德（公元前287年—公元前212年）通過正96邊形獲得的π值。我國的數(shù)學(xué)家祖沖之（公元429年—公元500年）在公元460年進(jìn)一步得出精確到3.1415926和3.1415927之間，這個(gè)則達(dá)到了正24000邊形。這個(gè)在之后的800年都是最精確的π值。
細(xì)心的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)“割圓法”中的正n邊形，n都是6的倍數(shù)。
這是因?yàn)槔弥苯侨切涡再|(zhì)，我們可以比較容易計(jì)算出
這些角對(duì)應(yīng)的邊長（具體將在以后介紹）。
趣聞
- 2011年，國際數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)正式宣布，將每年的3月14日設(shè)為國際數(shù)學(xué)節(jié)，來源則是中國古代數(shù)學(xué)家祖沖之的圓周率。 [16]
- 國際圓周率日可以追溯至1988年3月14日，舊金山科學(xué)博物館的物理學(xué)家Larry Shaw，他組織博物館的員工和參與者圍繞博物館紀(jì)念碑做3又1/7圈（22/7，π的近似值之一）的圓周運(yùn)動(dòng)，并一起吃水果派。之后，舊金山科學(xué)博物館繼承了這個(gè)傳統(tǒng)，在每年的這一天都會(huì)舉辦慶?；顒?dòng)。
- 2020年，一個(gè)名為北阿拉巴馬慈善計(jì)算的非營利組織的創(chuàng)始人蒂莫西·穆利肯使用個(gè)人電腦，將數(shù)值計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后50萬億位，耗時(shí)303天。 [23]
- 2021年8月17日，美國趣味科學(xué)網(wǎng)站報(bào)道，瑞士研究人員使用一臺(tái)超級(jí)計(jì)算機(jī)，歷時(shí)108天，將著名數(shù)學(xué)常數(shù)圓周率π計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后62.8萬億位，創(chuàng)下該常數(shù)迄今最精確值記錄。
為什么科學(xué)家現(xiàn)在還在計(jì)算π的值？
當(dāng)1882年德國數(shù)學(xué)家林德曼證明了圓周率是超越數(shù)后，人們開始意識(shí)到這個(gè)世界的神奇。目前存在自然界中的超越數(shù)只有兩個(gè)π（圓周率）和e（自然對(duì)數(shù)），其他的超越數(shù)都是人為定義的。人們相信如果能找到更多的超越數(shù)，揭開這些超越數(shù)的神秘面紗，我們就能探索到宇宙的盡頭。
