圓的18個(gè)定理

1、圓心角定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。

推理過(guò)程

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，將∠AOB繞圓心O旋轉(zhuǎn)到∠A'OB'的位置時(shí)，顯然∠AOB=∠A'OB'，射線(xiàn)OA與OA'重合，OB與OB'重合，而同圓的半徑相等，OA=OA'，OB=OB'，從而點(diǎn)A與A'重合，B與B'重合。

因此，弧AB與弧A'B'重合，AB與A'B'重合。即

圓心角定理

弧AB=弧A'B'，AB=A'B'。

則得到上面定理。

同樣還可以得到：

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么他們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦心距也相等。

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦心距也相等。

所以，在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也相等。

推論： 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等

2、圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。

定理證明：

已知在⊙O中，∠BOC與圓周角∠BAC同對(duì)弧BC，求證：∠BOC=2∠BAC.

證明：

情況1：

如圖1，當(dāng)圓心O在∠BAC的一邊上時(shí)，即A、O、B在同一直線(xiàn)上時(shí)：

∵OA、OC是半徑

圖1

解：∴OA=OC

∴∠BAC=∠ACO（等邊對(duì)等角）

∵∠BOC是△AOC的外角

∴∠BOC=∠BAC ∠ACO=2∠BAC

情況2：

如圖2,，當(dāng)圓心O在∠BAC的內(nèi)部時(shí)：

連接AO，并延長(zhǎng)AO交⊙O于D∵OA、OB、OC是半徑

圖2

解：∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等邊對(duì)等角）

∵∠BOD、∠COD分別是△AOB、△AOC的外角

∴∠BOD=∠BAD ∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和）

∠COD=∠CAD ∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和）

∴∠BOC=∠BOD ∠COD=2(∠BAD ∠CAD)=2∠BAC

情況3：

如圖3，當(dāng)圓心O在∠BAC的外部時(shí)：連接AO，并延長(zhǎng)AO交⊙O于D連接OA,OB。

圖3

解：∵OA、OB、OC、是半徑

∴OA=OB=OC

∴∠BAD=∠ABO（等腰三角形底角相等）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）

∵∠DOB、∠DOC分別是△AOB、△AOC的外角

∴∠DOB=∠BAD ∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和）

∠DOC=∠CAD ∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和）

∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC

圓心角等于180度的情況呢？

看情況1的圖，圓心角∠AOB=180度，圓周角是∠ACB，

顯然因?yàn)椤螼CA=∠OAC=∠BOC/2

∠OCB=∠OBC=∠AOC/2

所以∠OCA ∠OCB=

（∠BOC ∠AOC）/2=90度

所以2∠ACB=∠AOB

圓心角大于180度的情況呢？

看情況3的圖，圓心角是（360度-∠AOB），圓周角是∠ACB，

只要延長(zhǎng)AO交園于點(diǎn)D，由圓心角等于180度的情況可知∠ACD=∠ABD=90度

根據(jù)情況3同理可證：∠BOC=2∠BAC=2∠BDC

根據(jù)情況1和情況3同理可證：∠AOC=2∠ADC=2∠ABC

所以∠ACB ∠ADB=∠ACB ∠ADC ∠BDC

=∠ACB ∠ABC ∠BAC=180度

即∠ACB=180度-∠ADB

由情況2可知：∠AOB=2∠ADB

所以360度-∠AOB=2（180度-∠ADB）=2∠ACB

推論1： 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等

推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角;90°的圓周角所

推論3： 如果三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形

3、垂徑定理：垂直弦的直徑平分該弦，并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧。

（2）弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

推論2 ：圓的兩條平行弦所夾的弧相等

4、切線(xiàn)的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于該半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)。

切線(xiàn)的判定方法

【定義】

如果直線(xiàn)與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)直線(xiàn)

與圓的位置關(guān)系叫做相切。這條直線(xiàn)叫做圓的切線(xiàn)，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。

切線(xiàn)性質(zhì)：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。

【證明】

?

已知：直線(xiàn)l與⊙O有交點(diǎn)A，且OA⊥l ；

求證：l 是⊙O的切線(xiàn)。

證明：假設(shè)直線(xiàn)l不是⊙O的切線(xiàn)，

則⊙O與l有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)另外一個(gè)交點(diǎn)為B，連接OB。

由于A、B都是⊙O上的點(diǎn)，因此OA=OB。又OA⊥l ，由于直角三角形中斜邊大于直角邊，

有OA<OB，與OA=OB矛盾；

因此假設(shè)不成立，l 是⊙O的切線(xiàn)。

5、切線(xiàn)長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，他們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)與圓心的連線(xiàn)平分這兩條切線(xiàn)的夾角。

切線(xiàn)長(zhǎng)定理的證明：

定理證明示意圖（看上圖）

欲證AC = AB，只需證△ABO≌ △ACO。

如圖，OC、OB為圓的兩條半徑，又∠ABO = ∠ACO=90°

在Rt△ABO和Rt△ACO中

∴Rt△ABO ≌ Rt△ACO（H.L）

∴AB=AC，且∠AOB=∠AOC，且∠OAB=∠OAC。[3]

切線(xiàn)長(zhǎng)定理推論：

①圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等；

②從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn)，它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角。

6、公切線(xiàn)長(zhǎng)定理：如果兩圓有兩條外公切線(xiàn)或兩條內(nèi)公切線(xiàn)，那么這兩條外公切線(xiàn)長(zhǎng)相等，兩條內(nèi)公切線(xiàn)長(zhǎng)也相等。如果他們相交，那么交點(diǎn)一定在兩圓的連心線(xiàn)上。

7、相交弦定理：圓內(nèi)兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的乘積相等。

證明：連結(jié)AC,BD,由圓周角定理的推論,得∠A＝∠D,∠C＝∠B.（圓周角推論2: 同(等)弧所對(duì)圓周角相等.） ∴△PAC∽△PDB,∴PA∶PD＝PC∶PB,PA·PB＝PC·PD

8、切割線(xiàn)定理：從圓外一點(diǎn)向圓引一條切線(xiàn)和一條割線(xiàn)，則切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓的兩個(gè)交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)

9、割線(xiàn)長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)向圓引兩條割線(xiàn)，這一點(diǎn)到每條割線(xiàn)與圓的交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等。

已知：從圓O外一點(diǎn)P引兩條圓的割線(xiàn)，一條交圓于A、B，另一條交圓于C、D

求證：AP·BP=CP·DP

證明：過(guò)點(diǎn)P作圓O的切線(xiàn)，記切點(diǎn)為T(mén)

由切割線(xiàn)定理可知：AP·BP=PT2，CP·DP=PT2

∴AP·BP=CP·DP

10、切線(xiàn)的性質(zhì)定理：圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑

推論1 ：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)

推論2： 經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心

切線(xiàn)的性質(zhì)：

1、切線(xiàn)和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；

2、切線(xiàn)和圓心的距離等于圓的半徑；

3、切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑；

4、經(jīng)過(guò)圓心垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必過(guò)切點(diǎn)；

5、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必過(guò)圓心。

11、弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角

推理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角度數(shù)的一半。

如上圖，已知：直線(xiàn)PT切圓O于點(diǎn)C，BC、AC為圓O的弦。

求證：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

證明：設(shè)圓心為O，連接OC，OB,。

∵∠OCB=∠OBC

∴∠OCB=1/2*(180°-∠BOC)

又∵∠BOC=2∠BAC

∴∠OCB=90°-∠BAC

∴∠BAC=90°-∠OCB

又∵∠TCB=90°-∠OCB

∴∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

綜上所述：∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

推論：如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等

12、定理： 相交兩圓的連心線(xiàn)垂直平分兩圓的公共弦

13、定理： 把圓分成n(n≥3):

⑴依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形

⑵經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，以相鄰切線(xiàn)的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形

練習(xí)題：把一個(gè)圓五等分

拓展：

14、定理： 任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓

15.等圓和同心圓

16、定理： 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形

17、定理： 圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。

18、(d是圓心距，R、r是半徑)

①兩圓外離 d>R r

②兩圓外切 d=R r

③兩圓相交 R-r<dr)

④兩圓內(nèi)切 d=R-r(R>r)

⑤兩圓內(nèi)含dr)