圓的18個(gè)定理
1、圓心角定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)弧相等,所對(duì)的弦相等,所對(duì)的弦的弦心距相等。
推理過(guò)程
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),將∠AOB繞圓心O旋轉(zhuǎn)到∠A'OB'的位置時(shí),顯然∠AOB=∠A'OB',射線(xiàn)OA與OA'重合,OB與OB'重合,而同圓的半徑相等,OA=OA',OB=OB',從而點(diǎn)A與A'重合,B與B'重合。
因此,弧AB與弧A'B'重合,AB與A'B'重合。即
圓心角定理
弧AB=弧A'B',AB=A'B'。
則得到上面定理。
同樣還可以得到:
在同圓或等圓中,如果兩條弧相等,那么他們所對(duì)的圓心角相等,所對(duì)的弦相等,所對(duì)的弦心距也相等。
在同圓或等圓中,如果兩條弦相等,那么它們所對(duì)的圓心角相等,所對(duì)的弧相等,所對(duì)的弦心距也相等。
所以,在同圓或等圓中,兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也相等。
推論: 在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等
2、圓周角定理:一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。
定理證明:
已知在⊙O中,∠BOC與圓周角∠BAC同對(duì)弧BC,求證:∠BOC=2∠BAC.
證明:
情況1:
如圖1,當(dāng)圓心O在∠BAC的一邊上時(shí),即A、O、B在同一直線(xiàn)上時(shí):
∵OA、OC是半徑
圖1
解:∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO(等邊對(duì)等角)
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC ∠ACO=2∠BAC
情況2:
如圖2,,當(dāng)圓心O在∠BAC的內(nèi)部時(shí):
連接AO,并延長(zhǎng)AO交⊙O于D∵OA、OB、OC是半徑
圖2
解:∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO,∠CAD=∠ACO(等邊對(duì)等角)
∵∠BOD、∠COD分別是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD ∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和)
∠COD=∠CAD ∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和)
∴∠BOC=∠BOD ∠COD=2(∠BAD ∠CAD)=2∠BAC
情況3:
如圖3,當(dāng)圓心O在∠BAC的外部時(shí):連接AO,并延長(zhǎng)AO交⊙O于D連接OA,OB。
圖3
解:∵OA、OB、OC、是半徑
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO(等腰三角形底角相等),∠CAD=∠ACO(OA=OC)
∵∠DOB、∠DOC分別是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD ∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和)
∠DOC=∠CAD ∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于兩個(gè)不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和)
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
圓心角等于180度的情況呢?
看情況1的圖,圓心角∠AOB=180度,圓周角是∠ACB,
顯然因?yàn)椤螼CA=∠OAC=∠BOC/2
∠OCB=∠OBC=∠AOC/2
所以∠OCA ∠OCB=
(∠BOC ∠AOC)/2=90度
所以2∠ACB=∠AOB
圓心角大于180度的情況呢?
看情況3的圖,圓心角是(360度-∠AOB),圓周角是∠ACB,
只要延長(zhǎng)AO交園于點(diǎn)D,由圓心角等于180度的情況可知∠ACD=∠ABD=90度
根據(jù)情況3同理可證:∠BOC=2∠BAC=2∠BDC
根據(jù)情況1和情況3同理可證:∠AOC=2∠ADC=2∠ABC
所以∠ACB ∠ADB=∠ACB ∠ADC ∠BDC
=∠ACB ∠ABC ∠BAC=180度
即∠ACB=180度-∠ADB
由情況2可知:∠AOB=2∠ADB
所以360度-∠AOB=2(180度-∠ADB)=2∠ACB
推論1: 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧也相等
推論2:半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角;90°的圓周角所
推論3: 如果三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形
3、垂徑定理:垂直弦的直徑平分該弦,并且平分這條弦所對(duì)的兩條弧。
(2)弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心,并且平分弦所對(duì)的兩條弧
推論2 :圓的兩條平行弦所夾的弧相等
4、切線(xiàn)的判定定理:經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于該半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)。
切線(xiàn)的判定方法
【定義】
如果直線(xiàn)與圓只有一個(gè)公共點(diǎn),這時(shí)直線(xiàn)
與圓的位置關(guān)系叫做相切。這條直線(xiàn)叫做圓的切線(xiàn),這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。
切線(xiàn)性質(zhì):圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。
【證明】
?
已知:直線(xiàn)l與⊙O有交點(diǎn)A,且OA⊥l ;
求證:l 是⊙O的切線(xiàn)。
證明:假設(shè)直線(xiàn)l不是⊙O的切線(xiàn),
則⊙O與l有兩個(gè)交點(diǎn),設(shè)另外一個(gè)交點(diǎn)為B,連接OB。
由于A、B都是⊙O上的點(diǎn),因此OA=OB。又OA⊥l ,由于直角三角形中斜邊大于直角邊,
有OA<OB,與OA=OB矛盾;
因此假設(shè)不成立,l 是⊙O的切線(xiàn)。
5、切線(xiàn)長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn),他們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等,這一點(diǎn)與圓心的連線(xiàn)平分這兩條切線(xiàn)的夾角。
切線(xiàn)長(zhǎng)定理的證明:
定理證明示意圖(看上圖)
欲證AC = AB,只需證△ABO≌ △ACO。
如圖,OC、OB為圓的兩條半徑,又∠ABO = ∠ACO=90°
在Rt△ABO和Rt△ACO中
∴Rt△ABO ≌ Rt△ACO(H.L)
∴AB=AC,且∠AOB=∠AOC,且∠OAB=∠OAC。[3]
切線(xiàn)長(zhǎng)定理推論:
①圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等;
②從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線(xiàn),它們的切線(xiàn)長(zhǎng)相等,圓心和這一點(diǎn)的連線(xiàn)平分兩條切線(xiàn)的夾角。
6、公切線(xiàn)長(zhǎng)定理:如果兩圓有兩條外公切線(xiàn)或兩條內(nèi)公切線(xiàn),那么這兩條外公切線(xiàn)長(zhǎng)相等,兩條內(nèi)公切線(xiàn)長(zhǎng)也相等。如果他們相交,那么交點(diǎn)一定在兩圓的連心線(xiàn)上。
7、相交弦定理:圓內(nèi)兩條弦相交,被交點(diǎn)分成的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的乘積相等。
證明:連結(jié)AC,BD,由圓周角定理的推論,得∠A=∠D,∠C=∠B.(圓周角推論2: 同(等)弧所對(duì)圓周角相等.) ∴△PAC∽△PDB,∴PA∶PD=PC∶PB,PA·PB=PC·PD
8、切割線(xiàn)定理:從圓外一點(diǎn)向圓引一條切線(xiàn)和一條割線(xiàn),則切線(xiàn)長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線(xiàn)與圓的兩個(gè)交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)
9、割線(xiàn)長(zhǎng)定理:從圓外一點(diǎn)向圓引兩條割線(xiàn),這一點(diǎn)到每條割線(xiàn)與圓的交點(diǎn)的兩條線(xiàn)段長(zhǎng)的積相等。
已知:從圓O外一點(diǎn)P引兩條圓的割線(xiàn),一條交圓于A、B,另一條交圓于C、D
求證:AP·BP=CP·DP
證明:過(guò)點(diǎn)P作圓O的切線(xiàn),記切點(diǎn)為T(mén)
由切割線(xiàn)定理可知:AP·BP=PT2,CP·DP=PT2
∴AP·BP=CP·DP
10、切線(xiàn)的性質(zhì)定理:圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑
推論1 :經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)
推論2: 經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心
切線(xiàn)的性質(zhì):
1、切線(xiàn)和圓只有一個(gè)公共點(diǎn);
2、切線(xiàn)和圓心的距離等于圓的半徑;
3、切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑;
4、經(jīng)過(guò)圓心垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必過(guò)切點(diǎn);
5、經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必過(guò)圓心。
11、弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角
推理:弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角度數(shù)的一半。
如上圖,已知:直線(xiàn)PT切圓O于點(diǎn)C,BC、AC為圓O的弦。
求證:∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC
證明:設(shè)圓心為O,連接OC,OB,。
∵∠OCB=∠OBC
∴∠OCB=1/2*(180°-∠BOC)
又∵∠BOC=2∠BAC
∴∠OCB=90°-∠BAC
∴∠BAC=90°-∠OCB
又∵∠TCB=90°-∠OCB
∴∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC
綜上所述:∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC
推論:如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等,那么這兩個(gè)弦切角也相等
12、定理: 相交兩圓的連心線(xiàn)垂直平分兩圓的公共弦
13、定理: 把圓分成n(n≥3):
⑴依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形
⑵經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線(xiàn),以相鄰切線(xiàn)的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形
練習(xí)題:把一個(gè)圓五等分
拓展:
14、定理: 任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓,這兩個(gè)圓是同心圓
15.等圓和同心圓
16、定理: 正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形
17、定理: 圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ),并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角。
18、(d是圓心距,R、r是半徑)
①兩圓外離 d>R r
②兩圓外切 d=R r
③兩圓相交 R-r<dr)
④兩圓內(nèi)切 d=R-r(R>r)
⑤兩圓內(nèi)含dr)