一．概念描述
現(xiàn)代數(shù)學(xué)：兩角間的一種位置關(guān)系。若一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，則這兩個(gè)角互為對(duì)頂角。
小學(xué)數(shù)學(xué)：小學(xué)數(shù)學(xué)教材中沒(méi)有給出對(duì)頂角的明確的定義，而是通過(guò)度量“角”來(lái)說(shuō)明的，通過(guò)度量發(fā)現(xiàn)“這樣的角，度數(shù)相等”，也就是“對(duì)頂角相等”。
如2004年人教版教材四年級(jí)上冊(cè)第40頁(yè)“角的度量”單元就有這樣的安排：量出下面各角的度數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)什么？（如下圖）
研究了角的分類，學(xué)習(xí)了平角、周角后，該教材又出現(xiàn)了對(duì)頂角的圖（如上圖），并要
求根據(jù)一個(gè)角的度數(shù)，說(shuō)出另外幾個(gè)角的度數(shù)。
二．概念解讀
對(duì)頂角有哪些特性，對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角，對(duì)頂角相等反映的是兩個(gè)角之間的大小關(guān)系。兩條直線相交有一個(gè)公共點(diǎn)，沒(méi)有公共邊，這兩條直線相交就形成了兩對(duì)對(duì)頂角。
對(duì)頂角相等是怎樣被發(fā)現(xiàn)和證明的，對(duì)頂角相等非常直觀，容易理解，但它在平面幾何證明中占有重要地位，是證明圖形全等、相似的重要依據(jù)。
提到對(duì)頂角相等的發(fā)現(xiàn)與證明，一定會(huì)想到古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯，他被后人譽(yù)為人類歷史上最早的科學(xué)家，有“科學(xué)之父”和“希臘數(shù)學(xué)的鼻祖”之稱。他在數(shù)學(xué)方面劃時(shí)代的貢獻(xiàn)是把邏輯論證引入到數(shù)學(xué)，確保了數(shù)學(xué)命題的正確性，揭示了各定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，使數(shù)學(xué)構(gòu)成了一個(gè)嚴(yán)密的體系，他曾把諸如“直徑平分圓周”、“三角形兩等邊對(duì)等角”、“兩條直線相交時(shí)，對(duì)頂角相等”、“三角形兩角及其夾邊已知，此三角形完全確定”、“半圓所對(duì)的圓周角是直角”等平面幾何學(xué)的知識(shí)整理成一般性的命題，論證了它們的嚴(yán)格性，并在實(shí)踐中廣泛應(yīng)用，為畢達(dá)哥拉斯創(chuàng)立理性的數(shù)學(xué)奠定了基礎(chǔ)。
“對(duì)頂角相等”在《幾何原本》里被列入命題15，借助公理3（等量減等量，其差相等）給予證明。
光線是沿直線傳播的，小孔成像的原理其實(shí)也能說(shuō)明對(duì)頂角相等。大約兩千四五百年以前，我國(guó)的墨子和他的學(xué)生，做了世界上第一個(gè)小孔成像的實(shí)驗(yàn)，解釋了小孔成倒像的原因，指出了光的直線進(jìn)行的性質(zhì)。這是對(duì)光直線傳播的第一次科學(xué)解釋。
無(wú)論是光學(xué)還是幾何學(xué)范疇，都揭示了這個(gè)看似簡(jiǎn)單卻又非常重要的知識(shí)。
三．教學(xué)建議
對(duì)頂角在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中被安排在了“角的度量”之后。雖然沒(méi)有出現(xiàn)這個(gè)名詞，但在角的度量過(guò)程中會(huì)發(fā)現(xiàn)：“這樣的角”度數(shù)相等，即對(duì)頂角相等。因此教材編者的意圖一個(gè)是鞏固新知—進(jìn)一步鞏固角的度量和認(rèn)識(shí)平角，另一個(gè)是直觀感知，向?qū)W生滲透“這樣的角”度數(shù)相等這一事實(shí)，為今后的幾何學(xué)習(xí)做好鋪墊。如何做好鋪墊呢？
①以角的度量為線索，測(cè)量不同狀態(tài)的角，感知兩直線相交，,會(huì)形成兩組度數(shù)分別相等的角。
②借助平角和周角認(rèn)識(shí)對(duì)頂角。比如量出其中一個(gè)角的度數(shù)，不去量，能否知道另外幾個(gè)角的度數(shù)。
③尋找生活中的“對(duì)頂角”。如“ ”、剪刀、伸縮式衣架、x形儲(chǔ)物柜、十字路口、鐵絲網(wǎng)……
④查閱歐幾里得《幾何原本》中的命題“對(duì)頂角相等”、《墨經(jīng)》中了解“小孔成像”實(shí)驗(yàn)，更深入地理解對(duì)頂角，提高數(shù)學(xué)文化品位。
四．推薦閱讀
(1)《幾何原本》（歐幾里得，陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2003）
該書(shū)第14頁(yè)具體論證了對(duì)頂角相等。
(2)《數(shù)學(xué)史》（斯科特，廣西師范大學(xué)出版社，2008）
該書(shū)第二章論述了古希臘數(shù)學(xué)的起源和發(fā)展，介紹了希臘數(shù)學(xué)史的三個(gè)時(shí)期以及泰勒斯的“兩直線相交時(shí)，對(duì)頂角相等”等五個(gè)重要命題。
