一.概念描述
現(xiàn)代數(shù)學(xué):兩角間的一種位置關(guān)系。若一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長線,則這兩個(gè)角互為對(duì)頂角。
小學(xué)數(shù)學(xué):小學(xué)數(shù)學(xué)教材中沒有給出對(duì)頂角的明確的定義,而是通過度量“角”來說明的,通過度量發(fā)現(xiàn)“這樣的角,度數(shù)相等”,也就是“對(duì)頂角相等”。
如2004年人教版教材四年級(jí)上冊(cè)第40頁“角的度量”單元就有這樣的安排:量出下面各角的度數(shù),你能發(fā)現(xiàn)什么?(如下圖)
研究了角的分類,學(xué)習(xí)了平角、周角后,該教材又出現(xiàn)了對(duì)頂角的圖(如上圖),并要
求根據(jù)一個(gè)角的度數(shù),說出另外幾個(gè)角的度數(shù)。
二.概念解讀
對(duì)頂角有哪些特性,對(duì)頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個(gè)角,對(duì)頂角相等反映的是兩個(gè)角之間的大小關(guān)系。兩條直線相交有一個(gè)公共點(diǎn),沒有公共邊,這兩條直線相交就形成了兩對(duì)對(duì)頂角。
對(duì)頂角相等是怎樣被發(fā)現(xiàn)和證明的,對(duì)頂角相等非常直觀,容易理解,但它在平面幾何證明中占有重要地位,是證明圖形全等、相似的重要依據(jù)。
提到對(duì)頂角相等的發(fā)現(xiàn)與證明,一定會(huì)想到古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯,他被后人譽(yù)為人類歷史上最早的科學(xué)家,有“科學(xué)之父”和“希臘數(shù)學(xué)的鼻祖”之稱。他在數(shù)學(xué)方面劃時(shí)代的貢獻(xiàn)是把邏輯論證引入到數(shù)學(xué),確保了數(shù)學(xué)命題的正確性,揭示了各定理之間的內(nèi)在聯(lián)系,使數(shù)學(xué)構(gòu)成了一個(gè)嚴(yán)密的體系,他曾把諸如“直徑平分圓周”、“三角形兩等邊對(duì)等角”、“兩條直線相交時(shí),對(duì)頂角相等”、“三角形兩角及其夾邊已知,此三角形完全確定”、“半圓所對(duì)的圓周角是直角”等平面幾何學(xué)的知識(shí)整理成一般性的命題,論證了它們的嚴(yán)格性,并在實(shí)踐中廣泛應(yīng)用,為畢達(dá)哥拉斯創(chuàng)立理性的數(shù)學(xué)奠定了基礎(chǔ)。
“對(duì)頂角相等”在《幾何原本》里被列入命題15,借助公理3(等量減等量,其差相等)給予證明。
光線是沿直線傳播的,小孔成像的原理其實(shí)也能說明對(duì)頂角相等。大約兩千四五百年以前,我國的墨子和他的學(xué)生,做了世界上第一個(gè)小孔成像的實(shí)驗(yàn),解釋了小孔成倒像的原因,指出了光的直線進(jìn)行的性質(zhì)。這是對(duì)光直線傳播的第一次科學(xué)解釋。
無論是光學(xué)還是幾何學(xué)范疇,都揭示了這個(gè)看似簡單卻又非常重要的知識(shí)。
三.教學(xué)建議
對(duì)頂角在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中被安排在了“角的度量”之后。雖然沒有出現(xiàn)這個(gè)名詞,但在角的度量過程中會(huì)發(fā)現(xiàn):“這樣的角”度數(shù)相等,即對(duì)頂角相等。因此教材編者的意圖一個(gè)是鞏固新知—進(jìn)一步鞏固角的度量和認(rèn)識(shí)平角,另一個(gè)是直觀感知,向?qū)W生滲透“這樣的角”度數(shù)相等這一事實(shí),為今后的幾何學(xué)習(xí)做好鋪墊。如何做好鋪墊呢?
①以角的度量為線索,測(cè)量不同狀態(tài)的角,感知兩直線相交,,會(huì)形成兩組度數(shù)分別相等的角。
②借助平角和周角認(rèn)識(shí)對(duì)頂角。比如量出其中一個(gè)角的度數(shù),不去量,能否知道另外幾個(gè)角的度數(shù)。
③尋找生活中的“對(duì)頂角”。如“ ”、剪刀、伸縮式衣架、x形儲(chǔ)物柜、十字路口、鐵絲網(wǎng)……
④查閱歐幾里得《幾何原本》中的命題“對(duì)頂角相等”、《墨經(jīng)》中了解“小孔成像”實(shí)驗(yàn),更深入地理解對(duì)頂角,提高數(shù)學(xué)文化品位。
四.推薦閱讀
(1)《幾何原本》(歐幾里得,陜西科學(xué)技術(shù)出版社,2003)
該書第14頁具體論證了對(duì)頂角相等。
(2)《數(shù)學(xué)史》(斯科特,廣西師范大學(xué)出版社,2008)
該書第二章論述了古希臘數(shù)學(xué)的起源和發(fā)展,介紹了希臘數(shù)學(xué)史的三個(gè)時(shí)期以及泰勒斯的“兩直線相交時(shí),對(duì)頂角相等”等五個(gè)重要命題。