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圖形與幾何—對頂角(什么是對頂角畫圖說明)

圖形與幾何---對頂角(什么是對頂角畫圖說明)

一.概念描述

現代數學:兩角間的一種位置關系。若一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線,則這兩個角互為對頂角。

小學數學:小學數學教材中沒有給出對頂角的明確的定義,而是通過度量“角”來說明的,通過度量發(fā)現“這樣的角,度數相等”,也就是“對頂角相等”。

如2004年人教版教材四年級上冊第40頁“角的度量”單元就有這樣的安排:量出下面各角的度數,你能發(fā)現什么?(如下圖)

圖形與幾何---對頂角(什么是對頂角畫圖說明)

研究了角的分類,學習了平角、周角后,該教材又出現了對頂角的圖(如上圖),并要

求根據一個角的度數,說出另外幾個角的度數。

二.概念解讀

對頂角有哪些特性,對頂角是具有特殊位置關系的兩個角,對頂角相等反映的是兩個角之間的大小關系。兩條直線相交有一個公共點,沒有公共邊,這兩條直線相交就形成了兩對對頂角。

對頂角相等是怎樣被發(fā)現和證明的,對頂角相等非常直觀,容易理解,但它在平面幾何證明中占有重要地位,是證明圖形全等、相似的重要依據。

提到對頂角相等的發(fā)現與證明,一定會想到古希臘數學家泰勒斯,他被后人譽為人類歷史上最早的科學家,有“科學之父”和“希臘數學的鼻祖”之稱。他在數學方面劃時代的貢獻是把邏輯論證引入到數學,確保了數學命題的正確性,揭示了各定理之間的內在聯系,使數學構成了一個嚴密的體系,他曾把諸如“直徑平分圓周”、“三角形兩等邊對等角”、“兩條直線相交時,對頂角相等”、“三角形兩角及其夾邊已知,此三角形完全確定”、“半圓所對的圓周角是直角”等平面幾何學的知識整理成一般性的命題,論證了它們的嚴格性,并在實踐中廣泛應用,為畢達哥拉斯創(chuàng)立理性的數學奠定了基礎。

“對頂角相等”在《幾何原本》里被列入命題15,借助公理3(等量減等量,其差相等)給予證明。

光線是沿直線傳播的,小孔成像的原理其實也能說明對頂角相等。大約兩千四五百年以前,我國的墨子和他的學生,做了世界上第一個小孔成像的實驗,解釋了小孔成倒像的原因,指出了光的直線進行的性質。這是對光直線傳播的第一次科學解釋。

無論是光學還是幾何學范疇,都揭示了這個看似簡單卻又非常重要的知識。

三.教學建議

對頂角在小學數學教材中被安排在了“角的度量”之后。雖然沒有出現這個名詞,但在角的度量過程中會發(fā)現:“這樣的角”度數相等,即對頂角相等。因此教材編者的意圖一個是鞏固新知—進一步鞏固角的度量和認識平角,另一個是直觀感知,向學生滲透“這樣的角”度數相等這一事實,為今后的幾何學習做好鋪墊。如何做好鋪墊呢?

①以角的度量為線索,測量不同狀態(tài)的角,感知兩直線相交,,會形成兩組度數分別相等的角。

②借助平角和周角認識對頂角。比如量出其中一個角的度數,不去量,能否知道另外幾個角的度數。

③尋找生活中的“對頂角”。如“ ”、剪刀、伸縮式衣架、x形儲物柜、十字路口、鐵絲網……

④查閱歐幾里得《幾何原本》中的命題“對頂角相等”、《墨經》中了解“小孔成像”實驗,更深入地理解對頂角,提高數學文化品位。

四.推薦閱讀

(1)《幾何原本》(歐幾里得,陜西科學技術出版社,2003)

該書第14頁具體論證了對頂角相等。

(2)《數學史》(斯科特,廣西師范大學出版社,2008)

該書第二章論述了古希臘數學的起源和發(fā)展,介紹了希臘數學史的三個時期以及泰勒斯的“兩直線相交時,對頂角相等”等五個重要命題。

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