一．概念描述
現(xiàn)代數(shù)學(xué)：兩角間的一種位置關(guān)系。若一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線，則這兩個角互為對頂角。
小學(xué)數(shù)學(xué)：小學(xué)數(shù)學(xué)教材中沒有給出對頂角的明確的定義，而是通過度量“角”來說明的，通過度量發(fā)現(xiàn)“這樣的角，度數(shù)相等”，也就是“對頂角相等”。
如2004年人教版教材四年級上冊第40頁“角的度量”單元就有這樣的安排：量出下面各角的度數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)什么？（如下圖）
研究了角的分類，學(xué)習(xí)了平角、周角后，該教材又出現(xiàn)了對頂角的圖（如上圖），并要
求根據(jù)一個角的度數(shù)，說出另外幾個角的度數(shù)。
二．概念解讀
對頂角有哪些特性，對頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個角，對頂角相等反映的是兩個角之間的大小關(guān)系。兩條直線相交有一個公共點，沒有公共邊，這兩條直線相交就形成了兩對對頂角。
對頂角相等是怎樣被發(fā)現(xiàn)和證明的，對頂角相等非常直觀，容易理解，但它在平面幾何證明中占有重要地位，是證明圖形全等、相似的重要依據(jù)。
提到對頂角相等的發(fā)現(xiàn)與證明，一定會想到古希臘數(shù)學(xué)家泰勒斯，他被后人譽為人類歷史上最早的科學(xué)家，有“科學(xué)之父”和“希臘數(shù)學(xué)的鼻祖”之稱。他在數(shù)學(xué)方面劃時代的貢獻是把邏輯論證引入到數(shù)學(xué)，確保了數(shù)學(xué)命題的正確性，揭示了各定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，使數(shù)學(xué)構(gòu)成了一個嚴密的體系，他曾把諸如“直徑平分圓周”、“三角形兩等邊對等角”、“兩條直線相交時，對頂角相等”、“三角形兩角及其夾邊已知，此三角形完全確定”、“半圓所對的圓周角是直角”等平面幾何學(xué)的知識整理成一般性的命題，論證了它們的嚴格性，并在實踐中廣泛應(yīng)用，為畢達哥拉斯創(chuàng)立理性的數(shù)學(xué)奠定了基礎(chǔ)。
“對頂角相等”在《幾何原本》里被列入命題15，借助公理3（等量減等量，其差相等）給予證明。
光線是沿直線傳播的，小孔成像的原理其實也能說明對頂角相等。大約兩千四五百年以前，我國的墨子和他的學(xué)生，做了世界上第一個小孔成像的實驗，解釋了小孔成倒像的原因，指出了光的直線進行的性質(zhì)。這是對光直線傳播的第一次科學(xué)解釋。
無論是光學(xué)還是幾何學(xué)范疇，都揭示了這個看似簡單卻又非常重要的知識。
三．教學(xué)建議
對頂角在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中被安排在了“角的度量”之后。雖然沒有出現(xiàn)這個名詞，但在角的度量過程中會發(fā)現(xiàn)：“這樣的角”度數(shù)相等，即對頂角相等。因此教材編者的意圖一個是鞏固新知—進一步鞏固角的度量和認識平角，另一個是直觀感知，向?qū)W生滲透“這樣的角”度數(shù)相等這一事實，為今后的幾何學(xué)習(xí)做好鋪墊。如何做好鋪墊呢？
①以角的度量為線索，測量不同狀態(tài)的角，感知兩直線相交，,會形成兩組度數(shù)分別相等的角。
②借助平角和周角認識對頂角。比如量出其中一個角的度數(shù)，不去量，能否知道另外幾個角的度數(shù)。
③尋找生活中的“對頂角”。如“ ”、剪刀、伸縮式衣架、x形儲物柜、十字路口、鐵絲網(wǎng)……
④查閱歐幾里得《幾何原本》中的命題“對頂角相等”、《墨經(jīng)》中了解“小孔成像”實驗，更深入地理解對頂角，提高數(shù)學(xué)文化品位。
四．推薦閱讀
(1)《幾何原本》（歐幾里得，陜西科學(xué)技術(shù)出版社，2003）
該書第14頁具體論證了對頂角相等。
(2)《數(shù)學(xué)史》（斯科特，廣西師范大學(xué)出版社，2008）
該書第二章論述了古希臘數(shù)學(xué)的起源和發(fā)展，介紹了希臘數(shù)學(xué)史的三個時期以及泰勒斯的“兩直線相交時，對頂角相等”等五個重要命題。
