等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種，可以用AP表示。
如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。
而這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母d表示。
（一）等差數(shù)列求和公式
1.公式法
2.錯位相減法
3.求和公式
4.分組法
有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可。
5.裂項相消法
適用于分式形式的通項公式，把一項拆成兩個或多個的差的形式，即an=f(n 1)－f(n)，然后累加時抵消中間的許多項。
小結：此類變形的特點是將原數(shù)列每一項拆為兩項之后，其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。
注意：余下的項具有如下的特點
1、余下的項前后的位置前后是對稱的。
2、余下的項前后的正負性是相反的。
6.數(shù)學歸納法
一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的命題，有如下步驟：
（1）證明當n取第一個值時命題成立；
（2）假設當n=k（k≥n的第一個值，k為自然數(shù)）時命題成立，證明當n=k 1時命題也成立。
【例】
求證：
1×2×3×4 2×3×4×5 3×4×5×6 .……
n(n 1)(n 2)(n 3) =
[n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)]/5
證明：
當n=1時，有：
1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5
假設命題在n=k時成立，于是：
1×2×3×4 2×3×4×5 3×4×5×6 .……
k(k 1)(k 2)(k 3) =
[k(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)]/5
則當n=k 1時有：
1×2×3×4 2×3×4×5 3×4×5×6 ……
(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)=
1×2×3×4 2×3×4*5 3×4×5×6 ……
k(k 1)(k 2)(k 3) (k 1)(k 2)(k 3)(k 4)
= [k(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)]/5 (k 1)(k 2)(k 3)(k 4)
= (k 1)(k 2)(k 3)(k 4)*(k/5 1)
= [(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)(k 5)]/5
即n=k 1時原等式仍然成立，歸納得證
7.并項求和法
（常采用先試探后求和的方法）
例：1－2 3－4 5－6 …… （2n-1）-2n
方法一：（并項）
求出奇數(shù)項和偶數(shù)項的和，再相減。
方法二：
（1－2） （3－4） （5－6） …… [（2n-1）-2n]
方法三：
構造新的數(shù)列，可借用等差數(shù)列與等比數(shù)列的復合。
an=n(-1)^（n 1）
（二）等差數(shù)列判定及其性質
1.等差數(shù)列的判定
（1）a(n 1)–a(n)=d (d為常數(shù)、n ∈N*）[或a（n)–a(n-1)=d，n ∈N*，n ≥2,d是常數(shù)]等價于{a(n)}成等差數(shù)列。
（2）2a(n 1)=a(n) a(n 2) [n∈N*] 等價于{a(n)}成等差數(shù)列。
（3）a(n)=kn b [k、b為常數(shù),n∈N*] 等價于{a(n)}成等差數(shù)列。
（4）S(n)=A(n)^2 B(n) [A、B為常數(shù)，A不為0，n ∈N* ]等價于{a(n)}為等差數(shù)列。
2.特殊性質
在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等。并且等于首末兩項之和；特別的，若項數(shù)為奇數(shù)，還等于中間項的2倍。
即，a(1) a(n)=a(2) a(n-1)=a(3) a(n-2)=···=2*a中
【例】
數(shù)列：1，3，5，7，9，11中a(1) a(6)=12 ;
a(2) a(5)=12 ; a(3) a(4)=12 ;
即，在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項距離相等的兩項和相等。并且等于首末兩項之和。
數(shù)列：1，3，5，7，9中a(1) a(5)=10 ; a(2) a(4)=10 ;
a(3)=5=[a(1) a(5)]/2=[a(2) a(4)]/2=10/2=5 ;
即，若項數(shù)為奇數(shù)，和等于中間項的2倍，另見，等差中項。
