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等差數(shù)列求和公式有七種方法,還有一些特殊性質(zhì),你都知道嗎?

等差數(shù)列是常見數(shù)列的一種,可以用AP表示。

如果一個數(shù)列從第二項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。

而這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差常用字母d表示。

(一)等差數(shù)列求和公式

等差數(shù)列求和公式有七種方法,還有一些特殊性質(zhì),你都知道嗎?

1.公式法

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2.錯位相減法

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3.求和公式

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4.分組法

有一類數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開,可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列,然后分別求和,再將其合并即可。

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5.裂項相消法

適用于分式形式的通項公式,把一項拆成兩個或多個的差的形式,即an=f(n 1)-f(n),然后累加時抵消中間的許多項。

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小結(jié):此類變形的特點是將原數(shù)列每一項拆為兩項之后,其中中間的大部分項都互相抵消了。只剩下有限的幾項。

注意:余下的項具有如下的特點

1、余下的項前后的位置前后是對稱的。

2、余下的項前后的正負性是相反的。

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6.數(shù)學(xué)歸納法

一般地,證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題,有如下步驟:

(1)證明當(dāng)n取第一個值時命題成立;

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥n的第一個值,k為自然數(shù))時命題成立,證明當(dāng)n=k 1時命題也成立。

【例】

求證:

1×2×3×4 2×3×4×5 3×4×5×6 .……

n(n 1)(n 2)(n 3) =

[n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)]/5

證明:

當(dāng)n=1時,有:

1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

假設(shè)命題在n=k時成立,于是:

1×2×3×4 2×3×4×5 3×4×5×6 .……

k(k 1)(k 2)(k 3) =

[k(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)]/5

則當(dāng)n=k 1時有:

1×2×3×4 2×3×4×5 3×4×5×6 ……

(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)=

1×2×3×4 2×3×4*5 3×4×5×6 ……

k(k 1)(k 2)(k 3) (k 1)(k 2)(k 3)(k 4)

= [k(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)]/5 (k 1)(k 2)(k 3)(k 4)

= (k 1)(k 2)(k 3)(k 4)*(k/5 1)

= [(k 1)(k 2)(k 3)(k 4)(k 5)]/5

即n=k 1時原等式仍然成立,歸納得證

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7.并項求和法

(常采用先試探后求和的方法)

例:1-2 3-4 5-6 …… (2n-1)-2n

方法一:(并項)

求出奇數(shù)項和偶數(shù)項的和,再相減。

方法二:

(1-2) (3-4) (5-6) …… [(2n-1)-2n]

方法三:

構(gòu)造新的數(shù)列,可借用等差數(shù)列與等比數(shù)列的復(fù)合。

an=n(-1)^(n 1)

(二)等差數(shù)列判定及其性質(zhì)

等差數(shù)列求和公式有七種方法,還有一些特殊性質(zhì),你都知道嗎?

1.等差數(shù)列的判定

(1)a(n 1)–a(n)=d (d為常數(shù)、n ∈N*)[或a(n)–a(n-1)=d,n ∈N*,n ≥2,d是常數(shù)]等價于{a(n)}成等差數(shù)列。

(2)2a(n 1)=a(n) a(n 2) [n∈N*] 等價于{a(n)}成等差數(shù)列。

(3)a(n)=kn b [k、b為常數(shù),n∈N*] 等價于{a(n)}成等差數(shù)列。

(4)S(n)=A(n)^2 B(n) [A、B為常數(shù),A不為0,n ∈N* ]等價于{a(n)}為等差數(shù)列。

等差數(shù)列求和公式有七種方法,還有一些特殊性質(zhì),你都知道嗎?

2.特殊性質(zhì)

在有窮等差數(shù)列中,與首末兩項距離相等的兩項和相等。并且等于首末兩項之和;特別的,若項數(shù)為奇數(shù),還等于中間項的2倍。

即,a(1) a(n)=a(2) a(n-1)=a(3) a(n-2)=···=2*a中

【例】

數(shù)列:1,3,5,7,9,11中a(1) a(6)=12 ;

a(2) a(5)=12 ; a(3) a(4)=12 ;

即,在有窮等差數(shù)列中,與首末兩項距離相等的兩項和相等。并且等于首末兩項之和。

數(shù)列:1,3,5,7,9中a(1) a(5)=10 ; a(2) a(4)=10 ;

a(3)=5=[a(1) a(5)]/2=[a(2) a(4)]/2=10/2=5 ;

即,若項數(shù)為奇數(shù),和等于中間項的2倍,另見,等差中項。

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