今天清理電腦的時候發(fā)現(xiàn)了以前的一個想法，打開一看覺得還不錯，就分享一下了。內(nèi)容是通過浮力現(xiàn)象推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式的。不感興趣的條友就不用繼續(xù)了。下面是當(dāng)時的記錄：
今天突然根據(jù)一個簡單的物理現(xiàn)象總結(jié)出了數(shù)學(xué)中的一個公式——無窮等比數(shù)列的求和公式．
我們知道木頭的密度小于水的密度，所以木頭扔到水里，最終會有一部分浮出水面，另一部分沒入水中．由二力平衡條件可知，此時物體受到的浮力等于物體的重力，即
，其中
，，于是
，即
，
開始時，物體體積是，沒入水中的體積為 ，物體在水面以上的體積為，如果截去水面以上的部分不要，剩余物體待到重新漂浮在水面，達(dá)到穩(wěn)定后，重新截去水面以上的部分不要，依此重復(fù)操作．我們看一看，第n次截去水面以上部分的體積如果記作an的話，an的表達(dá)式是什么樣子的?
顯然，重新穩(wěn)定后，物體的總體積變?yōu)樵瓉淼?span id="7qchfp8i" class="syl-plugin-formula" data-formula="frac{rho_{物}}{rho_{液}}">倍，于是第二次截去水面以上部分的體積也是第一次截去水面以上部分體積的倍，即，依此類推，…，．
由等比數(shù)列的定義我們可以知道，上面的就構(gòu)成了一個公比，首項為的等比數(shù)列．我們知道只要剩余物體的體積不等于0，我們就可以一直截下去。當(dāng)截的次數(shù)趨于無窮時，剩余物體的體積將趨于．而此時截去的總體積將趨向于，由知，總體積趨向于．
于是我們就得到了無窮等比數(shù)列的求和公式：，考慮到上面的物理現(xiàn)象中，要求物塊要漂浮在水面，于是，即q<1．
結(jié)論一：首項為，公比為的無窮等比數(shù)列，當(dāng)時，求和公式為．
進(jìn)而我們可以由此公式推導(dǎo)出公比時的等比數(shù)列前項求和公式。
，其中
，于是
前n項和．
結(jié)論二：首項為，公比為的等比數(shù)列，當(dāng)時，前項求和公式為．
如果根據(jù)等比數(shù)列重新構(gòu)造一個新的數(shù)列，令，，…，則就構(gòu)成了一個首項為，公比為的等比數(shù)列，根據(jù)結(jié)論二，我們已經(jīng)知道了這個數(shù)列之和為，我們發(fā)現(xiàn)這個形式和結(jié)論二的形式是一樣的．
結(jié)論三：首項為，公比為的等比數(shù)列，當(dāng)時，前項求和公式為．
以上就是根據(jù)物理中的浮力公式，推導(dǎo)出來的等比數(shù)列求和公式．當(dāng)然考慮到物理現(xiàn)象的局限性，只能得到公比的情況，無法得到的情況．
