我們可以借助實數(shù)的四則運算法則來定義復(fù)數(shù)的四則運算。復(fù)數(shù)的加減法為(a bi)±(c di)=(a±c) (b d)i
注意到i2=-1，定義復(fù)數(shù)的乘法為
(a bi)(c di)=ac adi bci bdi2
=(ac-bd (ad bc)i
可以看到，兩個復(fù)數(shù)的乘積為0當且僅當其中一個復(fù)數(shù)為0，這與實數(shù)的情況是一樣的。特別稱a-bi為a bi的共軛，兩個共軛復(fù)數(shù)的乘積為實數(shù)，即
(a bi)(a-bi)=a2 b2
當c和d不同時為零時，令分子分母同乘分母的共軛，定義復(fù)數(shù)的除法為
(a bi)/(c di)=(ac bd)/(c2 d2) [(bc-ad)/(c2 d2)]i
有了上面的定義，我們就可以求任意二次方程的解了，比如x2-2x 2=0，由韋達公式可以得到兩個解為x1=1 i和x2=1-i。
高斯非常認真地研究了復(fù)數(shù)，他在1801年發(fā)表地《算術(shù)研究》中考慮了復(fù)整數(shù)地問題，即復(fù)數(shù)a bi中a和b均為整數(shù)的問題；他考慮了復(fù)素數(shù)的問題，所謂的復(fù)素數(shù)是指：不能分解為除±1和±i以外復(fù)整數(shù)乘積的形式的復(fù)數(shù)。這樣，在實數(shù)集合R中的素數(shù)在復(fù)數(shù)集合C中就不一定是復(fù)素數(shù)了，比如5在實數(shù)集合是一個素數(shù)，但在復(fù)數(shù)集合中卻可以表示為兩個共軛數(shù)乘積的形式，即5=(1 2i)(1-2i)，因此，5在C中就不是素數(shù)。特別是，高斯證明了我們在《數(shù)的性質(zhì)》一講中提到的“任何一個整數(shù)都可以唯一表示為若干個素數(shù)的乘積的形式”這個事實對于復(fù)整數(shù)也成立，于是，就開辟了今天被稱為代數(shù)數(shù)論的新的研究鄰域。
