一般地，對于函數(shù)f （x），如果存在一個常數(shù)T（T≠0），使得當x取定義域D內(nèi)的任意值時，都有f （x T）=f （x）成立，那么函數(shù)f （x）叫做周期函數(shù)，常數(shù)T叫做函數(shù)f （x）的周期.對于一個周期函數(shù)f （x）來說，如果在所有的周期中存在一個最小正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做函數(shù)f （x）的最小正周期
一、對于概念中“任意”的理解
如何正確理解概念中“當x取定義域D內(nèi)的任意值時，都有f （x T）=f （x）成立”，首先要將其中的“任意”與“存在”類結(jié)論進行區(qū)分.例如，判斷函數(shù)f （x）=sinx（x≠0）是不是周期函數(shù).我們知道f （x）=sinx（x∈R）是一個周期為2π的周期函數(shù)，然而應(yīng)當注意到定義域中挖去0后，當x=-2π時，f （x 2π）=f （0）無意義.于是該函數(shù)并不是周期函數(shù)，因為有一個地方不滿足要求，不符合“任意”一詞。也就是說，周期性應(yīng)當是函數(shù)的整體性質(zhì)，并不存在函數(shù)局部滿足周期性的說法.
而進一步挖掘概念中這句話，我們可以得到一個隱含的條件“若x∈D，則必有x T∈D”.于是就有了這樣的結(jié)論： “若函數(shù)f （x）存在正周期T，則其定義域必定正向無界，也就是自變量的值可以趨向正無窮；若函數(shù)f （x）存在負周期T，則其定義域必定負向無界，也就是自變量的值可以趨向負無窮.”于是對于如y=sinx這樣的既有正周期又有負周期的函數(shù)而言，其定義域必定可以趨向正無窮和負無窮. 于是在判斷一個函數(shù)是否為周期函數(shù)時，定義域可以作為一個先決的條件.
二、概念理解中的兩個常見誤區(qū)
（1）是否所有的周期函數(shù)都一定存在最小正周期呢？ 其實不然，比如函數(shù)y=sinx（x≤0），因為滿足sin（x-2kπ）=sinx（k∈N * ），所以它有負周期-2kπ（k∈N * ），卻不存在正周期，更不存在最小正周期.
那么，如果將這個命題改為“所有存在正周期的周期函數(shù)都一定存在最小正周期”，又是否正確呢？其實仍然可以找到反例，比如，常值函數(shù)y=1（x∈R），顯然任意的正實數(shù)都是它的正周期，但不存在最小正周期.
我們不妨再進一步，如果將命題改為“所有存在正周期的非常值函數(shù)的周期函數(shù)都一定存在最小正周期”，又是否正確呢？ 其實這個命題仍然錯誤，比如Dirichlet函數(shù)：
https://baike.baidu.com/item/狄利克雷函數(shù)/951546?fr=aladdin
所有的有理數(shù)都是它的周期，自然存在正周期，同時也是非常值函數(shù)，然而它還是不存在最小正周期.
（2）若函數(shù)f （x）存在周期T，則kT（k為非零整數(shù)）一定也是f （x）的周期嗎？ 這個命題對于初學(xué)的學(xué)生來說，是很容易弄錯的. 因為如果僅著眼于如y=sinx這樣的既有正周期又有負周期的函數(shù)， 那么就無法找到反例.事實上，對于像前面提到的函數(shù)y=sinx（x≤0）這樣，僅存在負周期而無正周期的函數(shù)而言，不難發(fā)現(xiàn)，若T和kT都是其周期，命題中的常數(shù)k必須是正整數(shù).同樣，對于僅存在正周期而無負周期的函數(shù)也是如此.
三、概念的幾何解釋
從概念上理解，不難得到周期函數(shù)的圖像存在這樣的特征：若周期T>0（T<0），則函數(shù)圖像上任意一點向右（左）平移T個單位后仍在該函數(shù)圖像上.為了辨析理解，筆者在課上設(shè)計了兩個函數(shù)的圖像（圖1、圖2），其實只要理清周期函數(shù)的圖像特征，不難發(fā)現(xiàn)它們都不是周期函數(shù).
至此，我們對于周期函數(shù)的圖像特征似乎已經(jīng)挖掘得較為透徹.然而，更多的學(xué)生對于周期函數(shù)的圖像停留在了“周而復(fù)始”、 “不斷重復(fù)” 這樣的印象上.那么，周期函數(shù)的圖像是否一定是學(xué)生所認為的“周而復(fù)始”、 “不斷重復(fù)” 呢？ 我們不妨來考查這樣一個函數(shù)： 我們將周期函數(shù)f（x）=|x-2k| （x∈［2k-1，2k 1］，k∈N）的圖像僅僅取
…（其中m∈N）的部分，于是就得到了如圖3所示的函數(shù)圖像.從圖像上來看，似乎與印象中的“周而復(fù)始”、“不斷重復(fù)”并不吻合，該圖像上相鄰兩段通過平移并不能重合，然而這的確是一個周期函數(shù)，滿足周期的定義：當x取定義域D內(nèi)的任意值時，都有f （x 2）=f （x）成立，所以這是一個周期為2的函數(shù).
四、概念的延伸
若定義域為R的函數(shù)f （x）、g（x）都是周期函數(shù)，那么f （x） g（x）也一定是周期函數(shù)嗎？ 對于這個命題，甲給出這樣的解答：假設(shè)函數(shù)f （x）的周期為T 1 ，函數(shù)g（x）的周期為T 2 ，則有f （x T 1 ）=f （x），g（x T 2 ）=g（x），所以只需取T=［T 1 ，T 2 ］（［T 1 ，T 2 ］為T 1 和T 2 的最小公倍數(shù)），那么f （x T） g（x T）=f （x） g（x），所以T為函數(shù)f （x） g（x）的周期.如此解答粗看似乎挺有道理，但其實經(jīng)不起推敲，倘若T 1和T 2 不存在最小公倍數(shù)呢， 比如T 1 是無理數(shù)，T 2 是有理數(shù)，那就找不到這樣的周期T了.所以這個命題其實是假命題.同樣地，對于兩個周期函數(shù)作其他四則運算也是如此.
反過來，如2016年上海高考卷第18題，判斷命題真假：設(shè)f （x）、g（x）、h（x）是定義域為R的三個函數(shù)，若f （x） g（x），f （x） h（x），g（x） h（x）均是以T為周期的函數(shù)，則f （x）、g（x）、h（x）均是以T為周期的函數(shù).這個命題是真命題，因為條件中這三個函數(shù)的周期相等，那么它們作四則 運 算 的 結(jié) 果 也 都 是 周 期 函 數(shù) .
那么對于兩個定義域為R的函數(shù)的復(fù)合函數(shù)y=f （g（x））呢？ 容易發(fā)現(xiàn)，若f （x）是周期函數(shù)，而g（x）不是，則函數(shù)y=f （g（x））不一定是周期函數(shù)；若g（x）是周期函數(shù)，則無論f （x）是不是周期函數(shù)，函數(shù)y=f （g（x））一定是周期函數(shù).
反過來，若函數(shù)y=f （g（x））是周期函數(shù)，那么定義域為R的兩個函數(shù)f （x）、g（x）是否至少有一個是周期函數(shù)呢？ 其實，這還是一個假命題.
