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商不變規(guī)律與分數(shù)、比的基本性質(zhì)的推導,用了合情推理的2種方法

上過小學的朋友應該都知道,除法、分數(shù)和比三者之間有著密不可分的關系:除法中的被除數(shù)、除數(shù)、商,相當于分數(shù)中的分子、分母、分數(shù)值,相當于比中的前項、后項、比值。所以,商不變規(guī)律、分數(shù)的基本性質(zhì)和比的基本性質(zhì)三者的推導也有關聯(lián),并且都使用了合情推理的思想方法,下面咱們逐一進行分析。

商不變規(guī)律與分數(shù)、比的基本性質(zhì)的推導,用了合情推理的2種方法

“商不變規(guī)律”是人教版數(shù)學四年級上冊第87頁的學習內(nèi)容。例題首先呈現(xiàn)了兩組計算題(1)16÷8、160÷8、320÷8;(2)200÷2、200÷20、200÷40,要求學生通過計算、觀察說說發(fā)現(xiàn)了什么。從(1)中可以發(fā)現(xiàn)“除數(shù)不變,商隨被除數(shù)的變化而變化”的規(guī)律;從(2)中可以發(fā)現(xiàn)“被除數(shù)不變,商隨除數(shù)的變化而變化”的規(guī)律。

商不變規(guī)律與分數(shù)、比的基本性質(zhì)的推導,用了合情推理的2種方法

接著,第(3)組題目6÷3、60÷30、600÷300、6000÷3000,也要求學生說一說發(fā)現(xiàn)。引導學生從上往下觀察,可以得出“被除數(shù)和除數(shù)都乘一個相同的數(shù),商不變?!?;從下往上觀察,可以得出“被除數(shù)和除數(shù)都除以一個相同的數(shù),商不變”,然后將兩個結(jié)論合起來就是“商不變規(guī)律”,不過得加上下面的提示“同乘或同除以的這個數(shù)不能是0”。由此得出完整的商不變規(guī)律:被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù),0除外,商不變。這種通過觀察某類事物中部分對象發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì),推出該類事物具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法就是合情推理中的不完全歸納法。

商不變規(guī)律與分數(shù)、比的基本性質(zhì)的推導,用了合情推理的2種方法

“分數(shù)的基本性質(zhì)”是人教版數(shù)學五年級下冊第57頁的學習內(nèi)容。教材重點呈現(xiàn)了展開合情推理的全過程。首先,借助動手操作和直觀圖示發(fā)現(xiàn)分數(shù)的相等關系,接下來進一步觀察相等的分數(shù)中分子和分母的變化規(guī)律,引發(fā)猜想,再舉例加以驗證,最后概括總結(jié)出分數(shù)的基本性質(zhì)。

商不變規(guī)律與分數(shù)、比的基本性質(zhì)的推導,用了合情推理的2種方法

例如題目給出三張同樣大小的正方形紙,按照二分之一、四分之二、八分之四的份額分別涂色,讓學生用分數(shù)表示涂色部分的大小,并且說一說有什么發(fā)現(xiàn)。通過觀察發(fā)現(xiàn),3個涂色部分都是正方形紙的一半,也就是說二分之一、四分之二、八分之四這三個分數(shù)的大小都相等。在此基礎上再觀察分子和分母,發(fā)現(xiàn)分子和分母的變化相同,即分子乘幾,分母就乘幾;分子除以幾,分母就除以幾。由此得出分數(shù)的基本性質(zhì):分數(shù)的分子和分母同時乘或除以相同的數(shù),0除外,分數(shù)的大小不變。整個過程滲透了不完全歸納的思想,培養(yǎng)學生合情推理的能力。

商不變規(guī)律與分數(shù)、比的基本性質(zhì)的推導,用了合情推理的2種方法

分數(shù)的基本性質(zhì)的推導除了用不完全歸納法進行推理,還可以根據(jù)分數(shù)與除法的關系,以及整數(shù)除法中商不變的規(guī)律進行類比推理。因為除法中的被除數(shù)相當于分數(shù)中的分子,除數(shù)相當于分母,商相當于分數(shù)值,所以將“商不變的規(guī)律”中的除法各部分名稱替換成分數(shù)的各部分名稱就行了。這種依據(jù)兩類事物的相似性,用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物也具有該性質(zhì)的推理方法,就是合情推理中的類比推理。

商不變規(guī)律與分數(shù)、比的基本性質(zhì)的推導,用了合情推理的2種方法

“比的基本性質(zhì)”是人教版數(shù)學六年級上冊第48頁的學習內(nèi)容。因為之前學過“商不變規(guī)律”和“分數(shù)的基本性質(zhì)”,所以教學時可以直接提出問題:“6:8和12:16相等嗎?如何證明?”學生可以利用求比值的方法說明,也可以利用比和除法、分數(shù)的關系,把比轉(zhuǎn)化成除法或分數(shù)的形式,利用“商不變規(guī)律”和“分數(shù)的基本性質(zhì)”,進行類比推理,得出比的基本性質(zhì):比的前項和后項同時乘或除以相同的數(shù),0除外,比值不變。

商不變規(guī)律與分數(shù)、比的基本性質(zhì)的推導,用了合情推理的2種方法

運用類比推理,就可以舉一反三使數(shù)學學習變得更加簡單了,您覺得呢?

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