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商不變規(guī)律與分?jǐn)?shù)、比的基本性質(zhì)的推導(dǎo),用了合情推理的2種方法

上過小學(xué)的朋友應(yīng)該都知道,除法、分?jǐn)?shù)和比三者之間有著密不可分的關(guān)系:除法中的被除數(shù)、除數(shù)、商,相當(dāng)于分?jǐn)?shù)中的分子、分母、分?jǐn)?shù)值,相當(dāng)于比中的前項(xiàng)、后項(xiàng)、比值。所以,商不變規(guī)律、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和比的基本性質(zhì)三者的推導(dǎo)也有關(guān)聯(lián),并且都使用了合情推理的思想方法,下面咱們逐一進(jìn)行分析。

商不變規(guī)律與分?jǐn)?shù)、比的基本性質(zhì)的推導(dǎo),用了合情推理的2種方法

“商不變規(guī)律”是人教版數(shù)學(xué)四年級上冊第87頁的學(xué)習(xí)內(nèi)容。例題首先呈現(xiàn)了兩組計(jì)算題(1)16÷8、160÷8、320÷8;(2)200÷2、200÷20、200÷40,要求學(xué)生通過計(jì)算、觀察說說發(fā)現(xiàn)了什么。從(1)中可以發(fā)現(xiàn)“除數(shù)不變,商隨被除數(shù)的變化而變化”的規(guī)律;從(2)中可以發(fā)現(xiàn)“被除數(shù)不變,商隨除數(shù)的變化而變化”的規(guī)律。

商不變規(guī)律與分?jǐn)?shù)、比的基本性質(zhì)的推導(dǎo),用了合情推理的2種方法

接著,第(3)組題目6÷3、60÷30、600÷300、6000÷3000,也要求學(xué)生說一說發(fā)現(xiàn)。引導(dǎo)學(xué)生從上往下觀察,可以得出“被除數(shù)和除數(shù)都乘一個相同的數(shù),商不變?!?;從下往上觀察,可以得出“被除數(shù)和除數(shù)都除以一個相同的數(shù),商不變”,然后將兩個結(jié)論合起來就是“商不變規(guī)律”,不過得加上下面的提示“同乘或同除以的這個數(shù)不能是0”。由此得出完整的商不變規(guī)律:被除數(shù)和除數(shù)同時乘或除以相同的數(shù),0除外,商不變。這種通過觀察某類事物中部分對象發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì),推出該類事物具有這種性質(zhì)的一般性結(jié)論的推理方法就是合情推理中的不完全歸納法。

商不變規(guī)律與分?jǐn)?shù)、比的基本性質(zhì)的推導(dǎo),用了合情推理的2種方法

“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”是人教版數(shù)學(xué)五年級下冊第57頁的學(xué)習(xí)內(nèi)容。教材重點(diǎn)呈現(xiàn)了展開合情推理的全過程。首先,借助動手操作和直觀圖示發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)的相等關(guān)系,接下來進(jìn)一步觀察相等的分?jǐn)?shù)中分子和分母的變化規(guī)律,引發(fā)猜想,再舉例加以驗(yàn)證,最后概括總結(jié)出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

商不變規(guī)律與分?jǐn)?shù)、比的基本性質(zhì)的推導(dǎo),用了合情推理的2種方法

例如題目給出三張同樣大小的正方形紙,按照二分之一、四分之二、八分之四的份額分別涂色,讓學(xué)生用分?jǐn)?shù)表示涂色部分的大小,并且說一說有什么發(fā)現(xiàn)。通過觀察發(fā)現(xiàn),3個涂色部分都是正方形紙的一半,也就是說二分之一、四分之二、八分之四這三個分?jǐn)?shù)的大小都相等。在此基礎(chǔ)上再觀察分子和分母,發(fā)現(xiàn)分子和分母的變化相同,即分子乘幾,分母就乘幾;分子除以幾,分母就除以幾。由此得出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì):分?jǐn)?shù)的分子和分母同時乘或除以相同的數(shù),0除外,分?jǐn)?shù)的大小不變。整個過程滲透了不完全歸納的思想,培養(yǎng)學(xué)生合情推理的能力。

商不變規(guī)律與分?jǐn)?shù)、比的基本性質(zhì)的推導(dǎo),用了合情推理的2種方法

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)的推導(dǎo)除了用不完全歸納法進(jìn)行推理,還可以根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系,以及整數(shù)除法中商不變的規(guī)律進(jìn)行類比推理。因?yàn)槌ㄖ械谋怀龜?shù)相當(dāng)于分?jǐn)?shù)中的分子,除數(shù)相當(dāng)于分母,商相當(dāng)于分?jǐn)?shù)值,所以將“商不變的規(guī)律”中的除法各部分名稱替換成分?jǐn)?shù)的各部分名稱就行了。這種依據(jù)兩類事物的相似性,用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物也具有該性質(zhì)的推理方法,就是合情推理中的類比推理。

商不變規(guī)律與分?jǐn)?shù)、比的基本性質(zhì)的推導(dǎo),用了合情推理的2種方法

“比的基本性質(zhì)”是人教版數(shù)學(xué)六年級上冊第48頁的學(xué)習(xí)內(nèi)容。因?yàn)橹皩W(xué)過“商不變規(guī)律”和“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”,所以教學(xué)時可以直接提出問題:“6:8和12:16相等嗎?如何證明?”學(xué)生可以利用求比值的方法說明,也可以利用比和除法、分?jǐn)?shù)的關(guān)系,把比轉(zhuǎn)化成除法或分?jǐn)?shù)的形式,利用“商不變規(guī)律”和“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”,進(jìn)行類比推理,得出比的基本性質(zhì):比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時乘或除以相同的數(shù),0除外,比值不變。

商不變規(guī)律與分?jǐn)?shù)、比的基本性質(zhì)的推導(dǎo),用了合情推理的2種方法

運(yùn)用類比推理,就可以舉一反三使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得更加簡單了,您覺得呢?

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