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導數(shù)、微分、積分之間的區(qū)別與聯(lián)系(微積分和導數(shù)區(qū)別)

兒子現(xiàn)在上高中物理競賽,需要補充些微分的知識,我把孩子問到的問題講解后用形象的語言整理了一下,恰好近期在整理初高中銜接知識點

導數(shù):曲線某點的導數(shù)就是該點切線的斜率,在物理學里體現(xiàn)了是瞬時速度,二階導數(shù)則是加速度。這個是由牛頓提出并研究的方向。

微分:也就是把函數(shù)分成無限小的部分,當曲線無限的被縮小后,可以近似當作直線對待,微分也就能表示為導數(shù)與dx的乘積。這個是萊布尼茲提出并研究的方向。

其實導數(shù)和微分本質(zhì)上說并無區(qū)別,只是研究方向上的差異。

積分定積分就是求曲線與x軸所夾的面積;不定積分就是該面積滿足的方程式 ,因此后者是求定積分的一種手段,本質(zhì)上來說,不定積分就是變限的定積分。

換一個角度來說:

導數(shù)y\’是函數(shù)在某一點的變化率,微分是改變量,導數(shù)是函數(shù)微分與自變量微分之商,即y\’=dy/dx,所以導數(shù)與微分的理論和方法統(tǒng)稱為微分學(已知函數(shù),求導數(shù)或微分).積分則是微分學的逆問題。

極限是微分、導數(shù)、不定積分、定積分的基礎(chǔ),最初微積分由牛頓、萊布尼茨發(fā)現(xiàn)的時候,沒有嚴格的定義,后來法國數(shù)學家柯西運用極限,使微積分有了嚴格的數(shù)學基礎(chǔ).極限是導數(shù)的基礎(chǔ),導數(shù)是極限的化簡.微分是導數(shù)的變形。

微分:無限小塊的增量可以看作是變化率,也就是導數(shù)。 積分:無限小塊的面積和可以看作是整個面積。

可導必連續(xù),閉區(qū)間上連續(xù)一定可積,可積一定有界。

拓展資料

導數(shù)

導數(shù)是微積分中的重要基礎(chǔ)概念。當函數(shù)y=f(x)的自變量x在一點x0上產(chǎn)生一個增量Δx時,函數(shù)輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時的極限a如果存在,a即為在x0處的導數(shù),記作f\'(x0)或df(x0)/dx。 導數(shù)是函數(shù)的局部性質(zhì)。

一個函數(shù)在某一點的導數(shù)描述了這個函數(shù)在這一點附近的變化率。如果函數(shù)的自變量和取值都是實數(shù)的話,函數(shù)在某一點的導數(shù)就是該函數(shù)所代表的曲線在這一點上的切線斜率。導數(shù)的本質(zhì)是通過極限的概念對函數(shù)進行局部的線性逼近。

例如在運動學中,物體的位移對于時間的導數(shù)就是物體的瞬時速度。 不是所有的函數(shù)都有導數(shù),一個函數(shù)也不一定在所有的點上都有導數(shù)。若某函數(shù)在某一點導數(shù)存在,則稱其在這一點可導,否則稱為不可導。然而,可導的函數(shù)一定連續(xù);不連續(xù)的函數(shù)一定不可導。

對于可導的函數(shù)f(x),x?f\'(x)也是一個函數(shù),稱作f(x)的導函數(shù)(簡稱導數(shù))。尋找已知的函數(shù)在某點的導數(shù)或其導函數(shù)的過程稱為求導。實質(zhì)上,求導就是一個求極限的過程,導數(shù)的四則運算法則也來源于極限的四則運算法則。反之,已知導函數(shù)也可以倒過來求原來的函數(shù),即不定積分。微積分基本定理說明了求原函數(shù)與積分是等價的。求導和積分是一對互逆的操作,它們都是微積分學中最為基礎(chǔ)的概念。

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