兒子現(xiàn)在上高中物理競(jìng)賽，需要補(bǔ)充些微分的知識(shí)，我把孩子問(wèn)到的問(wèn)題講解后用形象的語(yǔ)言整理了一下，恰好近期在整理初高中銜接知識(shí)點(diǎn)
導(dǎo)數(shù)：曲線某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是該點(diǎn)切線的斜率，在物理學(xué)里體現(xiàn)了是瞬時(shí)速度，二階導(dǎo)數(shù)則是加速度。這個(gè)是由牛頓提出并研究的方向。
微分：也就是把函數(shù)分成無(wú)限小的部分，當(dāng)曲線無(wú)限的被縮小后,可以近似當(dāng)作直線對(duì)待,微分也就能表示為導(dǎo)數(shù)與dx的乘積。這個(gè)是萊布尼茲提出并研究的方向。
其實(shí)導(dǎo)數(shù)和微分本質(zhì)上說(shuō)并無(wú)區(qū)別，只是研究方向上的差異。
積分：定積分就是求曲線與x軸所夾的面積；不定積分就是該面積滿足的方程式 ,因此后者是求定積分的一種手段,本質(zhì)上來(lái)說(shuō),不定積分就是變限的定積分。
換一個(gè)角度來(lái)說(shuō)：
導(dǎo)數(shù)y\’是函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率,微分是改變量,導(dǎo)數(shù)是函數(shù)微分與自變量微分之商,即y\’=dy/dx,所以導(dǎo)數(shù)與微分的理論和方法統(tǒng)稱為微分學(xué)（已知函數(shù),求導(dǎo)數(shù)或微分）.積分則是微分學(xué)的逆問(wèn)題。
極限是微分、導(dǎo)數(shù)、不定積分、定積分的基礎(chǔ),最初微積分由牛頓、萊布尼茨發(fā)現(xiàn)的時(shí)候,沒(méi)有嚴(yán)格的定義,后來(lái)法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西運(yùn)用極限,使微積分有了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).極限是導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ),導(dǎo)數(shù)是極限的化簡(jiǎn).微分是導(dǎo)數(shù)的變形。
微分：無(wú)限小塊的增量可以看作是變化率，也就是導(dǎo)數(shù)。 積分：無(wú)限小塊的面積和可以看作是整個(gè)面積。
可導(dǎo)必連續(xù)，閉區(qū)間上連續(xù)一定可積，可積一定有界。
拓展資料
導(dǎo)數(shù)
導(dǎo)數(shù)是微積分中的重要基礎(chǔ)概念。當(dāng)函數(shù)y=f(x)的自變量x在一點(diǎn)x0上產(chǎn)生一個(gè)增量Δx時(shí)，函數(shù)輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時(shí)的極限a如果存在，a即為在x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f\'(x0)或df(x0)/dx。 導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的局部性質(zhì)。
一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)描述了這個(gè)函數(shù)在這一點(diǎn)附近的變化率。如果函數(shù)的自變量和取值都是實(shí)數(shù)的話，函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)就是該函數(shù)所代表的曲線在這一點(diǎn)上的切線斜率。導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是通過(guò)極限的概念對(duì)函數(shù)進(jìn)行局部的線性逼近。
例如在運(yùn)動(dòng)學(xué)中，物體的位移對(duì)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)就是物體的瞬時(shí)速度。 不是所有的函數(shù)都有導(dǎo)數(shù)，一個(gè)函數(shù)也不一定在所有的點(diǎn)上都有導(dǎo)數(shù)。若某函數(shù)在某一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)存在，則稱其在這一點(diǎn)可導(dǎo)，否則稱為不可導(dǎo)。然而，可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)；不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)。
對(duì)于可導(dǎo)的函數(shù)f(x)，x?f\'(x)也是一個(gè)函數(shù)，稱作f(x)的導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)）。尋找已知的函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)或其導(dǎo)函數(shù)的過(guò)程稱為求導(dǎo)。實(shí)質(zhì)上，求導(dǎo)就是一個(gè)求極限的過(guò)程，導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則也來(lái)源于極限的四則運(yùn)算法則。反之，已知導(dǎo)函數(shù)也可以倒過(guò)來(lái)求原來(lái)的函數(shù)，即不定積分。微積分基本定理說(shuō)明了求原函數(shù)與積分是等價(jià)的。求導(dǎo)和積分是一對(duì)互逆的操作，它們都是微積分學(xué)中最為基礎(chǔ)的概念。
