同學(xué)們大家好~
我們之前,用一個(gè)代數(shù)的方程式的形式表示出了拋物線。那直線是不是也能用類(lèi)似的方法表示出來(lái)呢?今天我們就來(lái)探討這個(gè)問(wèn)題。
首先,我們學(xué)過(guò)一次函數(shù)y=kx+b(k不等于0),它表示的也是一條直線。其中,k是我們上篇文章講的斜率,b是直線與y軸交點(diǎn),我們也起個(gè)名字叫截距。
但是,它不能表示兩種直線,一種是平行于x軸的直線,一種是平行于y軸的直線。試想一下,如果有一條平行于x軸的直線,那么它的斜率是0,即k=0,那我只要把一次函數(shù)中k的限制條件去掉就可以了。但是,如果是平行于y軸的直線,它的傾斜角是90度,是不存在斜率的,所以用上面那個(gè)方程是無(wú)論如何也表示不了x=1,x=2這種的直線。
因此,y=kx+b中,我們知道斜率、截距就可以確定一條直線,所以我們把它叫做直線的斜截式方程。但是,它不能表示平行于y軸的直線。
下面我們從另一個(gè)角度重新研究一下直線的方程。
大家想這樣一個(gè)問(wèn)題:有一條直線,斜率k=1,過(guò)一點(diǎn)(2,3)。那能不能確定它的方程?
還記得之前我們求拋物線方程的步驟嗎?
首先我們應(yīng)該先設(shè)直線上一點(diǎn)P(x,y),已知斜率為1,那么根據(jù)之前所學(xué),也就是(y2-y1)/(x2-x1)=1,而這里的兩個(gè)點(diǎn)分別是P(x,y),和(2,3)。接著,我們把它們代入,(y-3)/(x-2)=1,化簡(jiǎn)一下,y-3=x-2。
那我們把題目一般化,已知一條直線斜率為k,過(guò)(x0,x0),求方程。
步驟與之前一樣,這里就直接給結(jié)果了:
y-y0=k(x-x0)
也就是說(shuō),如果我們知道一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)和斜率,就可以得到直線方程y-y0=k(x-x0),因此把它叫做直線的點(diǎn)斜式方程。我們可以看到,它依然不能表示平行于y軸的直線。
在看另一題:已知直線過(guò)A(1,2),B(2,3),求直線方程。
這道題實(shí)際上可以轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過(guò)的內(nèi)容,知道兩點(diǎn)坐標(biāo)可以求出直線的斜率,在隨便將一個(gè)點(diǎn)代入到直線的點(diǎn)斜式方程中就可以得到答案。
或者我們利用初中老師教過(guò)的待定系數(shù)法也可以求解。這里就不贅述了。
實(shí)際上,已知兩點(diǎn)求方程的方程叫做直線的兩點(diǎn)式方程。我們可以把點(diǎn)斜式中的k用兩點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)代替就得到了方程:

我們按照斜率—>點(diǎn)斜式這個(gè)步驟算就行了。上面這個(gè)方程就不推薦大家單記憶了,不僅會(huì)增加記憶負(fù)擔(dān),還容易記錯(cuò)。
如果把以上所有方程都化簡(jiǎn)歸納,就可以得到一個(gè)最一般的方程,我們就叫做一般式方程:Ax+By+C=0。不要問(wèn)我為什么都整理成等于0的形式,它就是這樣的,別杠。而一整理成這樣,它就成功避免了斜率沒(méi)意義的事,也就是說(shuō),這個(gè)方程是可以表示平行于y軸的直線。所以它是可以表示所有直線的,這也就是它為什么叫做一般式方程。
簡(jiǎn)單總結(jié)一下,本節(jié)課的幾個(gè)方程大家要記?。?/p>
1.斜截式:y=kx+b(初中就已經(jīng)記住了)
2.點(diǎn)斜式:y-y0=k(x-x0)
3.兩點(diǎn)式(不用記,按斜率—>點(diǎn)斜式的方法做)
4.一般式:Ax+By+C=0(對(duì)比二次函數(shù)記)
今天內(nèi)容就到這里,是不是很簡(jiǎn)單?如果對(duì)你有用的話,那就點(diǎn)贊轉(zhuǎn)發(fā),下節(jié)課見(jiàn)!