雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長（高中數(shù)學(xué)雙曲線焦點(diǎn)三角形面積公式）
雙曲線上的點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2構(gòu)成了焦點(diǎn)三角形。
例1、過雙曲線
（a>0，b>0）的焦點(diǎn)F1的弦AB長為m，另一焦點(diǎn)為F2，則△ABF2的周長為
A.4a
B.4a+2m
C.
D.
分析：根據(jù)雙曲線的定義，在雙曲線的焦點(diǎn)三角形中，，=2a，這是焦點(diǎn)三角形中的一個(gè)很重要的結(jié)論，從而求出△的周長。
解：根據(jù)雙曲線的定義，設(shè)F1、F2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則，，所以。因此，△ABF2的周長為4a+2m，故選B。
例2、設(shè)橢圓
和雙曲線
的公共焦點(diǎn)為F1、F2，P為兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則cos∠F1PF2的值等于
A.
B.
C.
D.
分析：充分應(yīng)用橢圓、雙曲線的定義，求出焦半徑，在雙曲線的焦點(diǎn)三角形中，利用余弦定理，從而求出cos∠F1PF2的值。
解：由題意，不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則在橢圓中，，在雙曲線中，，所以，。又，故在焦點(diǎn)三角形中，cos∠，因此，選B。
例3、是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足
=32，則∠=____________。
解：不妨假設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則，所以
在焦點(diǎn)三角形中，cos∠
，故∠=90°。
例4、已知雙曲線
的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足∠F1PF2=60°，則△F1PF2的面積是_________。
解：不妨假設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則
由題意知
即，所以，因此，。
例5、過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作垂直于實(shí)軸的弦PQ，點(diǎn)是另一個(gè)焦點(diǎn)，若=，則雙曲線的離心率等于_________。
解：設(shè)、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，由題意知在焦點(diǎn)三角形中，，，又，故有。
例6、若已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為l，能否在雙曲線的左支上求一點(diǎn)P，使是P到l的距離d與的等比中項(xiàng)？若能，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由。
解：由題意，，即，又，所以。
根據(jù)雙曲線的定義知，，因此，。
故
，這與點(diǎn)P、、構(gòu)成焦點(diǎn)三角形矛盾，所以雙曲線的左支上不存在點(diǎn)P，使是P到l的距離d與的等比中項(xiàng)。
