在古代,缺少數(shù)學(xué)技巧的情況下,圓周率的計(jì)算是相當(dāng)困難的,我們國(guó)家偉大的數(shù)學(xué)家,天文學(xué)家祖沖之(429-500,字文遠(yuǎn)),利用復(fù)雜的割圓術(shù),將圓周率的計(jì)算精確到小數(shù)點(diǎn)第七位,這是已經(jīng)是相當(dāng)了不起的成就了,直到1000年后才被阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西才打破紀(jì)錄。
我國(guó)古代杰出數(shù)學(xué)家祖沖之
在牛頓-萊布尼茨發(fā)明微積分之后,計(jì)算圓周率的巧妙辦法更多了,后來(lái)虛數(shù)的使用,提供了更多巧妙的辦法,看到在眾多計(jì)算圓周的公式,大家是不是很納悶,那些復(fù)雜的公式,數(shù)學(xué)家是怎么找到的呢?
今天,我就和大家分享一個(gè),利用虛數(shù),求圓周率的萬(wàn)能方法,我們的推導(dǎo)過(guò)程,都是初等數(shù)學(xué)知識(shí)。
首先,我們需要漂亮的歐拉恒等式:
歐拉恒等式
然后我們很容易得到:
歐拉恒等式變換后的結(jié)果
這個(gè)奇怪的恒等式,就是我們生成圓周率級(jí)數(shù)的萬(wàn)能公式,因?yàn)橛疫叺奶摂?shù),我們有巧妙的辦法轉(zhuǎn)換成無(wú)窮級(jí)數(shù)。
不過(guò)你需要拿出一個(gè)基礎(chǔ)的泰勒級(jí)數(shù):
對(duì)數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式
這個(gè)泰勒級(jí)數(shù),自變量取復(fù)數(shù)單位±i,你盡管放心大膽去用。
對(duì)數(shù)級(jí)數(shù)賦值
然后我們就可以利用虛數(shù)的性質(zhì),盡情地操弄數(shù)學(xué)技巧了,比如lni=ln[(1 i)/(1-i)]=ln(1 i)-ln(1-i),
立馬就有:
萊布尼茨級(jí)數(shù)
這個(gè)級(jí)數(shù),就是著名的萊布尼茲級(jí)數(shù),萊布尼茲在1674年用其他其他非常復(fù)雜的辦法得到了它,但是用這個(gè)級(jí)數(shù)求圓周率效率太低,因?yàn)槭諗克俣葘?shí)在太慢了。
我們依葫蘆畫瓢,再來(lái)變換:
對(duì)虛數(shù)i進(jìn)行變換
利用同樣的技巧后,帶入對(duì)數(shù)級(jí)數(shù),立馬得到:
圓周率級(jí)數(shù)
而這個(gè)級(jí)數(shù)收斂相當(dāng)快,你只要取前四項(xiàng),就能得到和祖沖之一樣的精度。
這個(gè)技巧屢試不爽,如果你把前面的2和3,換成5和-239,然后5 i取4次方,就可以得到另外一個(gè)收斂非??斓闹健窔J公式,梅欽公式至今仍然是計(jì)算機(jī)計(jì)算圓周率的重要公式之一。
利用梅欽公式,就算手算,你也可以輕松地把圓周率精確到50位;至于如何分解,全在于你對(duì)虛數(shù)單位i的處理,這樣的處理方式有無(wú)數(shù)個(gè),你得到的圓周率級(jí)數(shù)也就有無(wú)數(shù)個(gè),它們的收斂速度不盡相同,不過(guò)大家在處理這種正負(fù)交錯(cuò)的級(jí)數(shù)時(shí),要特別小心了,因?yàn)闂l件收斂級(jí)數(shù)的“炸彈”很多的呢。
圓周率By艾伯史密斯
看到這里,你有沒(méi)有覺(jué)得虛數(shù)居然有如此強(qiáng)大的功能,我們隨便處理一下,就能得到不同的圓周率級(jí)數(shù),是不是相當(dāng)有趣呢!其實(shí),關(guān)于虛數(shù)的應(yīng)用,還有很多,利用上面的技巧,你能構(gòu)造其他計(jì)算π的級(jí)數(shù)嗎?歡迎留言告訴我們!
好啦!今天就和大家分享到這里,虛數(shù)是非常有趣且強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具,有興趣的讀者朋友記得關(guān)注我們,我們會(huì)分享更多有趣的數(shù)學(xué)知識(shí)。
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