在古代，缺少數(shù)學(xué)技巧的情況下，圓周率的計(jì)算是相當(dāng)困難的，我們國(guó)家偉大的數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家祖沖之（429-500，字文遠(yuǎn)），利用復(fù)雜的割圓術(shù)，將圓周率的計(jì)算精確到小數(shù)點(diǎn)第七位，這是已經(jīng)是相當(dāng)了不起的成就了，直到1000年后才被阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西才打破紀(jì)錄。
我國(guó)古代杰出數(shù)學(xué)家祖沖之
在牛頓-萊布尼茨發(fā)明微積分之后，計(jì)算圓周率的巧妙辦法更多了，后來(lái)虛數(shù)的使用，提供了更多巧妙的辦法，看到在眾多計(jì)算圓周的公式，大家是不是很納悶，那些復(fù)雜的公式，數(shù)學(xué)家是怎么找到的呢？
今天，我就和大家分享一個(gè)，利用虛數(shù)，求圓周率的萬(wàn)能方法，我們的推導(dǎo)過(guò)程，都是初等數(shù)學(xué)知識(shí)。
首先，我們需要漂亮的歐拉恒等式：
歐拉恒等式
然后我們很容易得到：
歐拉恒等式變換后的結(jié)果
這個(gè)奇怪的恒等式，就是我們生成圓周率級(jí)數(shù)的萬(wàn)能公式，因?yàn)橛疫叺奶摂?shù)，我們有巧妙的辦法轉(zhuǎn)換成無(wú)窮級(jí)數(shù)。
不過(guò)你需要拿出一個(gè)基礎(chǔ)的泰勒級(jí)數(shù)：
對(duì)數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式
這個(gè)泰勒級(jí)數(shù)，自變量取復(fù)數(shù)單位±i，你盡管放心大膽去用。
對(duì)數(shù)級(jí)數(shù)賦值
然后我們就可以利用虛數(shù)的性質(zhì)，盡情地操弄數(shù)學(xué)技巧了，比如lni=ln［（1 i）/（1-i）］=ln（1 i）-ln（1-i），
立馬就有：
萊布尼茨級(jí)數(shù)
這個(gè)級(jí)數(shù)，就是著名的萊布尼茲級(jí)數(shù)，萊布尼茲在1674年用其他其他非常復(fù)雜的辦法得到了它，但是用這個(gè)級(jí)數(shù)求圓周率效率太低，因?yàn)槭諗克俣葘?shí)在太慢了。
我們依葫蘆畫瓢，再來(lái)變換：
對(duì)虛數(shù)i進(jìn)行變換
利用同樣的技巧后，帶入對(duì)數(shù)級(jí)數(shù)，立馬得到：
圓周率級(jí)數(shù)
而這個(gè)級(jí)數(shù)收斂相當(dāng)快，你只要取前四項(xiàng)，就能得到和祖沖之一樣的精度。
這個(gè)技巧屢試不爽，如果你把前面的2和3，換成5和-239，然后5 i取4次方，就可以得到另外一個(gè)收斂非?？斓闹健窔J公式，梅欽公式至今仍然是計(jì)算機(jī)計(jì)算圓周率的重要公式之一。
利用梅欽公式，就算手算，你也可以輕松地把圓周率精確到50位；至于如何分解，全在于你對(duì)虛數(shù)單位i的處理，這樣的處理方式有無(wú)數(shù)個(gè)，你得到的圓周率級(jí)數(shù)也就有無(wú)數(shù)個(gè)，它們的收斂速度不盡相同，不過(guò)大家在處理這種正負(fù)交錯(cuò)的級(jí)數(shù)時(shí)，要特別小心了，因?yàn)闂l件收斂級(jí)數(shù)的“炸彈”很多的呢。
圓周率By艾伯史密斯
看到這里，你有沒(méi)有覺(jué)得虛數(shù)居然有如此強(qiáng)大的功能，我們隨便處理一下，就能得到不同的圓周率級(jí)數(shù)，是不是相當(dāng)有趣呢！其實(shí)，關(guān)于虛數(shù)的應(yīng)用，還有很多，利用上面的技巧，你能構(gòu)造其他計(jì)算π的級(jí)數(shù)嗎？歡迎留言告訴我們！
好啦！今天就和大家分享到這里，虛數(shù)是非常有趣且強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，有興趣的讀者朋友記得關(guān)注我們，我們會(huì)分享更多有趣的數(shù)學(xué)知識(shí)。
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