一．概念描述

現(xiàn)代數(shù)學(xué)：點(diǎn)的定義一般有以下四種：

①不可以再分割的部分。

②幾何學(xué)上指沒(méi)有大?。礇](méi)有長(zhǎng)、寬、高）而只有位置，不可分割的圖形。如兩直線的相交處、線段的兩端都是點(diǎn)。

③在點(diǎn)集拓?fù)渲械狞c(diǎn)，定義為一個(gè)拓?fù)淇臻g中的集合的元素。

④公理化定義：在幾何學(xué)，拓?fù)鋵W(xué)以及數(shù)學(xué)的相關(guān)分支中，一個(gè)空間中的點(diǎn)用于描述給定空間中一種特別的對(duì)象，在空間中有類似于體積、面積、長(zhǎng)度或其他高維類似物。一個(gè)點(diǎn)是一個(gè)零維度對(duì)象。點(diǎn)作為最簡(jiǎn)單的幾何概念，通常是幾何、物理、矢量圖形和其他領(lǐng)域的最基本的組成部分。點(diǎn)作為幾何中最基本的組成部分，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體。點(diǎn)也可以看作二維上無(wú)限小的面積、三維上無(wú)限小的體積等。在平面上的點(diǎn)可以用一個(gè)有序數(shù)對(duì)(x，y)來(lái)表示；在n維空間中，用n個(gè)有序?qū)崝?shù)組(x1x2…xn)表示空間中的一個(gè)點(diǎn)。

從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看，第四個(gè)定義從零維到多維來(lái)理解點(diǎn)的定義最豐富、最全面。

小學(xué)數(shù)學(xué)：小學(xué)數(shù)學(xué)教材中沒(méi)有明確給出點(diǎn)的定義，只是在認(rèn)識(shí)平面圖形“角，三角形、平行四邊形、梯形、圓”、認(rèn)識(shí)立體圖形“長(zhǎng)方體、正方體、圓錐”或給圖形畫(huà)高時(shí)提到了點(diǎn)，還有與線有關(guān)的點(diǎn)。這大致可以分成三種情況：

①圖形的認(rèn)識(shí)：角的描述就是“從一點(diǎn)引出兩條射線組成的圖形”，這“一點(diǎn)”就是角的頂點(diǎn)；三角形有三個(gè)頂點(diǎn)，平行四邊形有四個(gè)頂點(diǎn)，圓錐有一個(gè)頂點(diǎn)。有關(guān)圓心、半徑、直徑的知識(shí)也都用到了點(diǎn)：從圓心到圓上任意一點(diǎn)的線段，叫作半徑；通過(guò)圓心且兩個(gè)端點(diǎn)都在圓上的線段，叫作直徑。

②給圖形畫(huà)高：三角形的高是“從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊作一條垂線……”；平行四邊形的高是“從一條邊上的任意一點(diǎn)向?qū)呉咕€……”；梯形的高是“從上底的任意一點(diǎn)向下底引垂線……”；而“從圓錐的頂點(diǎn)到底面圓心的距離叫作圓錐的高”。

③與線有關(guān)的點(diǎn)：連接兩點(diǎn)可以畫(huà)很多條線，其中線段最短，線段的長(zhǎng)度就是這兩點(diǎn)間的距離；過(guò)直線上或直線外一點(diǎn)，畫(huà)已知直線的垂線或平行線等。

二．概念解讀

點(diǎn)，表示位置，它既無(wú)長(zhǎng)度，也無(wú)寬度，是最小的單位。在平面構(gòu)成中，點(diǎn)的概念只是相對(duì)的，它在對(duì)比中存在。網(wǎng)中同一個(gè)圓點(diǎn)，在小的框架中會(huì)顯得很大，而在巨大的框架中又會(huì)顯得很小。比如，人類居住的地球與我們?nèi)祟愊啾容^是巨大的，但與宇宙相比較，它又是一個(gè)渺小的點(diǎn)，因此，點(diǎn)的概念是由相互比較的關(guān)系決定的。

幾何學(xué)中的點(diǎn)，只有具體位置，而無(wú)大?。礇](méi)有長(zhǎng)短、寬窄、薄厚），常用大寫(xiě)字母A、B、C……表示。從幾何定義思考點(diǎn)和線是人們?cè)诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題的時(shí)候建立的一種模型，理論上的點(diǎn)和直線是不存在的。

點(diǎn)無(wú)大小，為什么線段卻有長(zhǎng)度？舉個(gè)例子來(lái)解釋這個(gè)問(wèn)題：對(duì)于一根長(zhǎng)度為1的線段，我們把它均分為n份，則每份的長(zhǎng)度等于1/n。當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，1/n是趨于0的，這個(gè)長(zhǎng)度是忽略不計(jì)的，這趨于0的每一份線段我們把它稱之為點(diǎn)。無(wú)窮小乘無(wú)限大可以等于任何數(shù)，因此，雖然點(diǎn)是沒(méi)有大小的，但線段是可以有長(zhǎng)度的。

三．教學(xué)建議

(1)點(diǎn)的意義非常豐富，可以從零維、一維、二維、三維……n維來(lái)理解，點(diǎn)是幾何圖形最基本的、不可再分的元素。

如在一節(jié)課中認(rèn)識(shí)點(diǎn)，線，面，教師可讓學(xué)生通過(guò)觸摸實(shí)物，感悟基本圖形點(diǎn)，線，面，并由實(shí)物抽象出幾何圖形，提高其觀察、想象與分析能力。

教師也可利用課件演示線是由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的，無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)的排列分布不同會(huì)形成不同的線；還可以讓學(xué)生進(jìn)一步理解面上也有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)。

此外，教師還可以專門引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)平面圖形和立體圖形中特殊的點(diǎn)，如線段的端點(diǎn)、分點(diǎn)，圓的圓心，平面圖形和立體圖形的頂點(diǎn)等。

(2)點(diǎn)的趣味知識(shí)：長(zhǎng)線段上的點(diǎn)與短線段上的點(diǎn)同樣多

線段的長(zhǎng)度是有限的，但無(wú)論是長(zhǎng)線段還是短線段，它們上面點(diǎn)的個(gè)數(shù)卻是無(wú)限的，并且長(zhǎng)線段與短線段上的點(diǎn)都構(gòu)成一個(gè)無(wú)窮的點(diǎn)的集合。對(duì)于兩個(gè)集合A和B，如何比較其大小和多少呢，也就是怎樣確定A中的元素多還是B中的元素多，這就需要有個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。對(duì)于有限集合大小的比較，我們可以采用“數(shù)一數(shù)”的辦法，對(duì)下無(wú)限集合就看我們能不能在A與B兩個(gè)集合的元素之問(wèn)建立起一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。能建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，就應(yīng)當(dāng)承認(rèn)集合A和B的元素是一樣多的。其實(shí)“數(shù)一數(shù)”的辦法也是一一對(duì)應(yīng)的辦法，只不過(guò)是把要數(shù)的元素與自然數(shù)間建立一一對(duì)應(yīng)罷了。

按照一一對(duì)應(yīng)的原則，不同長(zhǎng)短兩條線段上的點(diǎn)是一樣多的。例如，線段AB和線段CD上的點(diǎn)只要通過(guò)如圖1的辦法就可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，所以線段AB和線段CD上的點(diǎn)是一樣多的。類似的，我們還可以得到半圓周上的點(diǎn)和直徑上的點(diǎn)一樣多（如圖2）；更進(jìn)一步還可以得到，半圓周上的點(diǎn)還和無(wú)限長(zhǎng)直線上的點(diǎn)一樣多（如圖3），由此，我們還能得出1毫米線段上的點(diǎn)和無(wú)限長(zhǎng)的直線上的點(diǎn)也是一樣多。所以無(wú)論多么短的一條線段，只要它的長(zhǎng)度不是0，它上面的點(diǎn)就和任意長(zhǎng)度的線段乃至無(wú)窮直線上的點(diǎn)一樣多。

出現(xiàn)這種令人稱奇的結(jié)果，是由于幾何里的“點(diǎn)”，只有位置，沒(méi)有大小、長(zhǎng)短、寬窄和薄厚，而且任何一條線段或直線上的點(diǎn)都是無(wú)限多的，這些點(diǎn)都非常緊密地排列在線段和直線上，沒(méi)有一點(diǎn)空隙。

四．推薦閱讀

(1)《幾何原本》（歐幾里得，江蘇人民出版社，2011）

該書(shū)的第一卷有關(guān)于點(diǎn)的概念的詳細(xì)描述。

(2)《小學(xué)數(shù)學(xué)中最易誤解的概念》（范立瓅，高荊，地質(zhì)出版社，2008）

該書(shū)第209-210頁(yè)“圖形與幾何”章節(jié)的“圖形認(rèn)識(shí)”部分，對(duì)直線，射線和線段三者之間的關(guān)系以及點(diǎn)，線，面，體的概念有比較詳細(xì)的闡述。