數(shù)姐有話
一元二次方程中跟與系數(shù)的關(guān)系，是中考的一個(gè)難點(diǎn)，在未來高中階段，也是一個(gè)?？嫉狞c(diǎn)，所以，同學(xué)們?cè)诔鯇W(xué)這塊內(nèi)容時(shí)，要多多研究透徹！
| 內(nèi)容 | 基本要求 | 略高要求 | 較高要求 |
| 一元二次方程 | 了解一元二次方程的概念，會(huì)將一元二次方程化為一般形式，并指出各項(xiàng)系數(shù)；了解一元二次方程的根的意義 | 能由一元二次方程的概念確定二次項(xiàng)系數(shù)中所含字母的取值范圍；會(huì)由方程的根求方程中待定系數(shù)的值 | |
| 一元二次方程的解法 | 理解配方法，會(huì)用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法解簡(jiǎn)單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程，理解各種解法的依據(jù) | 能選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?；?huì)用方程的根的判別式判別方程根的情況 | 能利用根的判別式說明含有字母系數(shù)的一元二次方程根的情況及由方程根的情況確定方程中待定系數(shù)的取值范圍；會(huì)用配方法對(duì)代數(shù)式做簡(jiǎn)單的變形；會(huì)應(yīng)用一元二次方程解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題 |
知識(shí)點(diǎn)睛
1根的判別式
1.一元二次方程根的判別式的定義：
運(yùn)用配方法解一元二次方程過程中得到
，顯然只有當(dāng)
時(shí)，才能直接開平方得：
．
也就是說，一元二次方程
只有當(dāng)系數(shù)a、b、c滿足條件
時(shí)才有實(shí)數(shù)根．這里
叫做一元二次方程根的判別式．
2.判別式與根的關(guān)系：
在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程
的根由其系數(shù)a、b、c確定，它的根的情況(是否有實(shí)數(shù)根)由
確定．
判別式：設(shè)一元二次方程為
，其根的判別式為：
則
①
方程
有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
．
②
方程
有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
．
③
方程
沒有實(shí)數(shù)根．
若a、b、c 為有理數(shù)，且Δ為完全平方式，則方程的解為有理根；若Δ為完全平方式，同時(shí)
是2a的整數(shù)倍，則方程的根為整數(shù)根．
說明:Update
(1)用判別式去判定方程的根時(shí)，要先求出判別式的值:上述判定方法也可以反過來使用，當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，Δ>0;有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，Δ=0;沒有實(shí)數(shù)根時(shí)，Δ<0.
(2)在解一元二次方程時(shí)，一般情況下，首先要運(yùn)用根的判別式
判定方程的根的情況(有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，無實(shí)數(shù)根)．當(dāng)
=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(二重根)，不能說方程只有一個(gè)根．
① 當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開口向上，頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；
② 當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下，頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)．
3.一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用：
一元二次方程的根的判別式在以下方面有著廣泛的應(yīng)用：
（1）運(yùn)用判別式，判定方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)；
（2）利用判別式建立等式、不等式，求方程中參數(shù)值或取值范圍；
（3）通過判別式，證明與方程相關(guān)的代數(shù)問題；
（4）借助判別式，運(yùn)用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，解幾何存在性問題，最值問題．
2韋達(dá)定理
如果一元二次方程
的兩根為
那么，就有
比較等式兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，得
①式與②式也可以運(yùn)用求根公式得到．人們把公式①與②稱之為韋達(dá)定理，即根與系數(shù)的關(guān)系．
因此，給定一元二次方程
就一定有①與②式成立．反過來，如果有兩數(shù)
滿足①與②，那么這兩數(shù)
必是一個(gè)一元二次方程
的根．利用這一基本知識(shí)?？梢院?jiǎn)捷地處理問題．
利用根與系數(shù)的關(guān)系，我們可以不求方程
的根，而知其根的正、負(fù)性．
在
的條件下，我們有如下結(jié)論：
當(dāng)
時(shí)，方程的兩根必一正一負(fù)．若
，則此方程的正根不小于負(fù)根的絕對(duì)值；若
，則此方程的正根小于負(fù)根的絕對(duì)值．
當(dāng)
時(shí)，方程的兩根同正或同負(fù)．若
，則此方程的兩根均為正根；若
，則此方程的兩根均為負(fù)根．
⑸ 韋達(dá)定理主要應(yīng)用于以下幾個(gè)方面：
①已知方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根以及確定方程參數(shù)的值；
②已知方程，求關(guān)于方程的兩根的代數(shù)式的值；
③已知方程的兩根，求作方程；
④結(jié)合根的判別式，討論根的符號(hào)特征；
⑤逆用構(gòu)造一元二次方程輔助解題：當(dāng)已知等式具有相同的結(jié)構(gòu)時(shí)，就可以把某兩個(gè)變?cè)醋髂硞€(gè)一元二次方程的兩根，以便利用韋達(dá)定理；
⑤ 利用韋達(dá)定理求出一元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗(yàn)證方程的Δ．一些考試中，往往利用這一點(diǎn)設(shè)置陷阱．
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