數(shù)姐有話
一元二次方程中跟與系數(shù)的關(guān)系,是中考的一個難點,在未來高中階段,也是一個常考的點,所以,同學(xué)們在初學(xué)這塊內(nèi)容時,要多多研究透徹!
內(nèi)容 | 基本要求 | 略高要求 | 較高要求 |
一元二次方程 | 了解一元二次方程的概念,會將一元二次方程化為一般形式,并指出各項系數(shù);了解一元二次方程的根的意義 | 能由一元二次方程的概念確定二次項系數(shù)中所含字母的取值范圍;會由方程的根求方程中待定系數(shù)的值 | |
一元二次方程的解法 | 理解配方法,會用直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法解簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程,理解各種解法的依據(jù) | 能選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠?;會用方程的根的判別式判別方程根的情況 | 能利用根的判別式說明含有字母系數(shù)的一元二次方程根的情況及由方程根的情況確定方程中待定系數(shù)的取值范圍;會用配方法對代數(shù)式做簡單的變形;會應(yīng)用一元二次方程解決簡單的實際問題 |
知識點睛
1根的判別式
1.一元二次方程根的判別式的定義:
運用配方法解一元二次方程過程中得到
,顯然只有當(dāng)
時,才能直接開平方得:
.
也就是說,一元二次方程
只有當(dāng)系數(shù)a、b、c滿足條件
時才有實數(shù)根.這里
叫做一元二次方程根的判別式.
2.判別式與根的關(guān)系:
在實數(shù)范圍內(nèi),一元二次方程
的根由其系數(shù)a、b、c確定,它的根的情況(是否有實數(shù)根)由
確定.
判別式:設(shè)一元二次方程為
,其根的判別式為:
則
①
方程
有兩個不相等的實數(shù)根
.
②
方程
有兩個相等的實數(shù)根
.
③
方程
沒有實數(shù)根.
若a、b、c 為有理數(shù),且Δ為完全平方式,則方程的解為有理根;若Δ為完全平方式,同時
是2a的整數(shù)倍,則方程的根為整數(shù)根.
說明:Update
(1)用判別式去判定方程的根時,要先求出判別式的值:上述判定方法也可以反過來使用,當(dāng)方程有兩個不相等的實數(shù)根時,Δ>0;有兩個相等的實數(shù)根時,Δ=0;沒有實數(shù)根時,Δ<0.
(2)在解一元二次方程時,一般情況下,首先要運用根的判別式
判定方程的根的情況(有兩個不相等的實數(shù)根,有兩個相等的實數(shù)根,無實數(shù)根).當(dāng)
=0時,方程有兩個相等的實數(shù)根(二重根),不能說方程只有一個根.
① 當(dāng)a>0時,拋物線開口向上,頂點為其最低點;
② 當(dāng)a<0時,拋物線開口向下,頂點為其最高點.
3.一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用:
一元二次方程的根的判別式在以下方面有著廣泛的應(yīng)用:
(1)運用判別式,判定方程實數(shù)根的個數(shù);
(2)利用判別式建立等式、不等式,求方程中參數(shù)值或取值范圍;
(3)通過判別式,證明與方程相關(guān)的代數(shù)問題;
(4)借助判別式,運用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型,解幾何存在性問題,最值問題.
2韋達(dá)定理
如果一元二次方程
的兩根為
那么,就有
比較等式兩邊對應(yīng)項的系數(shù),得
①式與②式也可以運用求根公式得到.人們把公式①與②稱之為韋達(dá)定理,即根與系數(shù)的關(guān)系.
因此,給定一元二次方程
就一定有①與②式成立.反過來,如果有兩數(shù)
滿足①與②,那么這兩數(shù)
必是一個一元二次方程
的根.利用這一基本知識??梢院喗莸靥幚韱栴}.
利用根與系數(shù)的關(guān)系,我們可以不求方程
的根,而知其根的正、負(fù)性.
在
的條件下,我們有如下結(jié)論:
當(dāng)
時,方程的兩根必一正一負(fù).若
,則此方程的正根不小于負(fù)根的絕對值;若
,則此方程的正根小于負(fù)根的絕對值.
當(dāng)
時,方程的兩根同正或同負(fù).若
,則此方程的兩根均為正根;若
,則此方程的兩根均為負(fù)根.
⑸ 韋達(dá)定理主要應(yīng)用于以下幾個方面:
①已知方程的一個根,求另一個根以及確定方程參數(shù)的值;
②已知方程,求關(guān)于方程的兩根的代數(shù)式的值;
③已知方程的兩根,求作方程;
④結(jié)合根的判別式,討論根的符號特征;
⑤逆用構(gòu)造一元二次方程輔助解題:當(dāng)已知等式具有相同的結(jié)構(gòu)時,就可以把某兩個變元看作某個一元二次方程的兩根,以便利用韋達(dá)定理;
⑤ 利用韋達(dá)定理求出一元二次方程中待定系數(shù)后,一定要驗證方程的Δ.一些考試中,往往利用這一點設(shè)置陷阱.
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