1 導(dǎo)數(shù)
我們知道，在微積分中導(dǎo)數(shù)是一個(gè)非常重要的概念，即函數(shù)的自變量在一點(diǎn)上產(chǎn)生一個(gè)增量時(shí)，函數(shù)值的增量與的比值在趨于0時(shí)的極限，記為
由上圖也可以知道，當(dāng)點(diǎn)無(wú)限趨近于點(diǎn)時(shí)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義便是函數(shù)所代表的曲線在點(diǎn)上的切線斜率。
2 計(jì)算三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
通過(guò)導(dǎo)數(shù)的定義我們可以計(jì)算三角函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)（以為例）：
根據(jù)兩角和的正弦公式
代入以上極限，得到
由極限（證明略）
得到
即
這樣我們就得到了的導(dǎo)數(shù)。
3 直觀地理解三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
通過(guò)上述計(jì)算我們同樣也可以得到的導(dǎo)數(shù)，但是你一定不想再來(lái)一遍了——因?yàn)檎麄€(gè)過(guò)程略顯繁瑣與復(fù)雜。
那就讓我們換一個(gè)角度——通過(guò)幾何直觀來(lái)看看到底什么是和的導(dǎo)數(shù)。
現(xiàn)在我們構(gòu)造一個(gè)直角三角形，使其斜邊長(zhǎng)：
設(shè)其中一個(gè)銳角為，則兩條直角邊分別為、.
別忘了，現(xiàn)在我們要求的是和的導(dǎo)數(shù)，回憶一下導(dǎo)數(shù)的定義是什么，求導(dǎo)數(shù)需要什么？
是的，我們需要微小的增量！然后再看看和會(huì)發(fā)生什么變化。
對(duì)于角度，如果有一個(gè)微小的增量，會(huì)發(fā)生什么？想象一下（如果你想好了，就可以滑動(dòng)圖片查看）
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在研究函數(shù)曲線的導(dǎo)數(shù)時(shí)，我們可以將某一部分進(jìn)行“無(wú)限放大”，從而達(dá)到“以直代曲”的目的。
同樣地，在這里我們也可以對(duì)直角三角形進(jìn)行無(wú)限放大，看看會(huì)發(fā)生什么（這里也可以想象一下，然后看看是否和你想得一樣）。
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如果增加的角度無(wú)限趨近于0（這時(shí)記為無(wú)窮小量），則不難想象直角三角形的新的斜邊與原來(lái)的斜邊是無(wú)限接近平行的，如果我們?cè)跓o(wú)限放大的地方再構(gòu)造一個(gè)直角三角形，會(huì)得到如下圖形：
我們發(fā)現(xiàn)，無(wú)限放大處的直角三角形和原來(lái)的直角三角形是相似的！又由于原直角三角形斜邊長(zhǎng)為1，因此我們可以認(rèn)為放大處的直角三角形斜邊即為，則兩條直角邊即為和.
因此，對(duì)于原來(lái)的直角邊來(lái)說(shuō)，其增量是，對(duì)于原來(lái)的直角邊來(lái)說(shuō)，其增量是.
因此，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，得到
參考文獻(xiàn)
[1]（美）阿德里安·班納.普林斯頓微積分讀本（修訂版）[M].楊爽等譯.人民郵電出版社，2020.[2]（美）杰森·威爾克斯.燒掉數(shù)學(xué)書(shū)[M].唐璐譯.湖南科學(xué)技術(shù)出版社，2020.
