今天老黃又絞盡腦汁設(shè)計(jì)了一道小學(xué)六年級(jí)的數(shù)學(xué)幾何問題，以幫助孩子們拓展自己的數(shù)學(xué)思維能力。題目是這樣的：
如下圖，是一個(gè)圓柱體，將它展開并裁剪并圍成一個(gè)表面積最大的圓錐體，若底面不變，問：圓錐的表面積最大是多少？（已知圓錐側(cè)面積公式：S側(cè)=πrl, 其中r是底面半徑，l是側(cè)面展開圖的扇形半徑，取π=3.14，結(jié)果保留兩位小數(shù)）
分析：雖然小學(xué)階段并沒有涉及圓錐側(cè)面積的公式，但題目中已經(jīng)給出了公式，并進(jìn)行了介紹。這類題目老黃稱之為“即學(xué)即用型”的問題，小學(xué)出現(xiàn)的比較少，在中學(xué)階段出現(xiàn)的很多，也是老黃教過的大多數(shù)學(xué)生最害怕的題型。這點(diǎn)老黃很不理解，因?yàn)樵诶宵S讀書的時(shí)候，感覺如果試卷全出這種題的話，張張都能考滿分。但是就連老黃教過的最聰明的學(xué)生，也害怕這種題，因此老黃決定從小學(xué)開始就培養(yǎng)學(xué)生解決這種題目的能力。
解決這道題，首先要知道圓柱體的展開圖是什么樣子的。如下圖，它是由兩個(gè)底面圓和一個(gè)長方形構(gòu)成的。而且長方形水平的邊，等于底面的周長。
然后要知道圓錐展開圖的形狀。如下圖，它是由一個(gè)底面（這里要求底面不變，仍為直徑等于4的圓）和一個(gè)扇形構(gòu)成的。而且扇形的弧長等于底面的周長。
接下來就是運(yùn)用題目中所給的公式，求圓錐的表面積了。但是上圖并不是圓錐表面積最大的情形。不過應(yīng)該會(huì)有不少學(xué)生以這個(gè)圓錐的表面積為答案，那就錯(cuò)了。
雖然題目要求的是表面積的最大值，但底面是確定的，所以其實(shí)求的是側(cè)面積的最大值。觀察圓錐的側(cè)面積公式，S側(cè)=πrl, 其中πr在這里是一個(gè)定值，就是底面半圓的弧長，或者說是底面圓的周長的一半。因此l越大，側(cè)面積就越大。即想要取側(cè)面積最大的圓錐，就要保證圓錐側(cè)面展開扇形的半徑最大。因此，比較聰明的學(xué)生就會(huì)想到下圖的這種情形。
那么上圖是否就是側(cè)面積最大的圓錐了呢？其實(shí)它還不是我們要求的圓錐的展開圖。不過一般學(xué)生能考慮到這里，已經(jīng)很不錯(cuò)了。
那么側(cè)面積最大的圓錐到底是哪一個(gè)呢？看下圖，就是把圓柱的側(cè)面展開圖向任意方向旋轉(zhuǎn)90度，由于底面圓的周長比圓柱的高更大，因此，這時(shí)的圓錐側(cè)面展開扇形的半徑更大，得到的側(cè)面積就更大，也是最大的情形。能夠想到這里的學(xué)生，可以說是相當(dāng)有天賦的了，數(shù)學(xué)思維能力在這個(gè)年齡段已經(jīng)達(dá)到一定的高度了。
下面組織解題過程：(題目還沒完，后面還有拓展)
圓錐底面積為：S底=πr^2=3.14X(4/2)^2=12.56;
當(dāng)圓錐側(cè)面展開圖的半徑為：l=C底=πd=12.56時(shí)，
圓錐側(cè)面積為：S側(cè)=πrl=3.14X2X12.56=17.8768,
圓錐最大的表面積為：S=S底+S側(cè)=12.56+17.8768=30.4368≈30.44.
答：圓錐最大的表面積約為30.44.
這道題的單位被省略了，為了防止學(xué)生對(duì)單位的認(rèn)識(shí)造成混亂，可以加上單位厘米和平方厘米。
這道題到這里其實(shí)還可以繼續(xù)探究下去的。注意，我們題目中限定了“底面積不變”。然而其實(shí)如果底面積可變的話，還可以得到表面積更大的圓錐如下圖：
注意圖中的圓要比原來的底面圓面積更大，周長也會(huì)更長，致使側(cè)面的面積也會(huì)更大。不過這樣變化之后，小學(xué)生肯定是探究不出來答案的。就連高中生，恐怕也會(huì)相當(dāng)有難度的。不信可以動(dòng)手試試看。
