梯度旋度與散度仿真實(shí)驗(yàn)可能出現(xiàn)的現(xiàn)象（梯度旋度與散度）
在介紹梯度，旋度，與散度這些東西之前，我們首先引入一個(gè)東西：nabla算符
孩子學(xué)習(xí)對(duì)于所有的家長(zhǎng)來(lái)，最關(guān)心就是孩子的學(xué)習(xí)，對(duì)吧？如何幫孩子提升學(xué)習(xí)成績(jī)呢？影響孩子學(xué)習(xí)成績(jī)的因素有哪些？左養(yǎng)右學(xué)教育賴頌強(qiáng)團(tuán)隊(duì)13年的家庭教育服務(wù)經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，影響孩子學(xué)習(xí)的主要因素有22條之多，家長(zhǎng)你了解幾條呢？
（也叫做向量微分算子），其中
。
這個(gè)東西到底有什么用呢，繼續(xù)向下看，你就會(huì)明白我把這個(gè)東西放在最前面的用意。梯度：在介紹梯度之前，就不得不說(shuō)方向向量的事情。首先假設(shè)我們都是紙片人，在爬一座紙片山
顯然我們向上爬的時(shí)候，每一處地方，山的陡峭程度是不同的。我們直觀的感受就是爬山的時(shí)候費(fèi)不費(fèi)力。在二維中，這個(gè)陡峭程度我們把它叫做導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)可以表示函數(shù)曲線上的切線斜率。除了切線的斜率，導(dǎo)數(shù)還表示函數(shù)在該點(diǎn)的變化率。
回到現(xiàn)實(shí)，我們開始爬這座三維的山，不同于二維之中，我們只能上下爬山，在三維之中，當(dāng)我們站在一個(gè)點(diǎn)的時(shí)候，我們可以向四周隨意行動(dòng)（注意安全）。這也就意味著在這一點(diǎn)有著無(wú)數(shù)的方向，這么多方向，我們?nèi)绾尾拍馨阉麄儽硎境鰜?lái)呢？這時(shí)我們有了一個(gè)好辦法，就像在一個(gè)坐標(biāo)系中的向量可以用x，y軸上的單位向量表示一樣，我們可以建立空間直角坐標(biāo)系，把山放進(jìn)坐標(biāo)系之中，假設(shè)山坡可以表示為
，和之前的思想類似，我們同樣可以把不同方向的斜率用x，y方向上的變化表示。而y方向的斜率可以對(duì)y偏微分得到.，x方向的斜率可以對(duì)x偏微分得到。這里我們直接給出這個(gè)結(jié)論：
設(shè)
。我們可以把之前這個(gè)式子寫成兩個(gè)向量點(diǎn)積的形式，
，
一點(diǎn)處的方向?qū)?shù)有很多，但是如果我們要找一個(gè)最大，那么
。
這時(shí)候當(dāng)A和I重合時(shí)，方向?qū)?shù)最大，也就意味著這時(shí)，在這一點(diǎn)，山是最陡峭的。這時(shí)我們把A命名為梯度，記作
，
這樣，我們就知道了梯度的意義，從字面來(lái)看，這兩個(gè)字還是比較符合它的實(shí)際意義的。下次你再爬山的時(shí)候，也許你可以建立山的函數(shù)，求出自己所在位置的梯度，從而規(guī)劃一條最短的路哦。
通量與散度：之前，我們用房頂為曲面的房子講了進(jìn)入房子里面的雨水的量，也就是
，現(xiàn)在我們可以給這個(gè)東西取一個(gè)名字了，數(shù)學(xué)家們一拍腦袋，有了這個(gè)東西我們就把它叫做通量。顯然，通量描述的是進(jìn)入房子的整體的水的量，而整體是部分的加和。就像之前我們用過(guò)的長(zhǎng)方體氣球，從水龍頭中進(jìn)來(lái)的水等于從氣球周圍流出的水，這樣我們便得到了高斯公式：
現(xiàn)在，用閉區(qū)域的體積V除上式兩端，得
左端表示單位時(shí)間內(nèi)單位體積產(chǎn)生的水的平均值，顯然在這個(gè)氣球里邊一定會(huì)有一個(gè)點(diǎn)單位時(shí)間內(nèi)單位體積產(chǎn)生的水等于這個(gè)平均值，我們讓這個(gè)點(diǎn)取為M（x，y，z），那么左邊的式子可以表示為：
我們把這個(gè)區(qū)域不斷地接近M點(diǎn)，也就是對(duì)上邊的式子取極限得到：
我們把上式左端叫做場(chǎng)v在M點(diǎn)的通量密度或散度，記作
即
設(shè)V=（P,Q,R）,把散度寫成向量點(diǎn)乘的形式，
顯然我們又一次看到了
這個(gè)東西。
散度的幾何意義：
散度散度，從名字上來(lái)看這個(gè)，這個(gè)量是用來(lái)描述“散開的程度”，但是根據(jù)我們之前的分析，散度這個(gè)量表示的是無(wú)窮小曲面處的通量。散度的大小直接與在這一個(gè)小曲面是否有通量有關(guān)。想像一個(gè)朝四面八方噴水的水水龍頭。在這個(gè)水龍頭上套一個(gè)橡皮圈。
顯然，橡皮圈會(huì)被水撐大，這一點(diǎn)散度就不為0，如果我們把這個(gè)橡皮圈拿出這個(gè)中心，就好像我們劃船一樣，這個(gè)橡皮圈會(huì)被水流沖走，這樣這個(gè)點(diǎn)的散度就為0了，所以說(shuō)散度并不是描述“散開的程度”的一個(gè)量。
旋度：環(huán)流量、旋度與通量、散度是比較類似的。我們把單位時(shí)間內(nèi)繞著一條曲線的量叫做環(huán)流量。和之前散度的定義類似，我們都是從宏觀到微觀，逐漸的把這個(gè)曲線縮小，縮小到圍繞著一個(gè)點(diǎn)附近很小的區(qū)域里的平均環(huán)流量，這樣我們就得出了在一個(gè)點(diǎn)的旋度：
，之前的散度可以寫成
的形式，而我們的旋度又和散度十分相似，而與點(diǎn)乘十分相似的是什么呢？沒(méi)錯(cuò)就是叉乘，我們可以把
這個(gè)形式寫成叉乘的形式
總結(jié)：
一個(gè)矢量一般來(lái)說(shuō)有3種“乘法”：
1、 矢量A和一個(gè)標(biāo)量a相乘：aA
2、 矢量A和一個(gè)矢量B進(jìn)行點(diǎn)乘：A·B
3、 矢量A和一個(gè)矢量B進(jìn)行叉乘
同樣，算子也有三種運(yùn)算
1、 ▽算子作用在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)z上：▽z，這個(gè)表示的是z的梯度
2、 ▽算子跟一個(gè)矢量函數(shù)E點(diǎn)乘：▽·E。表示E的散度
3、 3、▽算子跟一個(gè)矢量函數(shù)E叉乘：▽×E。表示E的旋度
了解了這些之后，你就可以去看被譽(yù)為史上最美方程的的麥克斯韋方程組了。
還有一件事
對(duì)于格林公式，高斯公式，stokes公式，如果學(xué)習(xí)了外微分的話，這些公式其實(shí)表示的是一個(gè)東西
在這里，我僅拋磚引玉，想要學(xué)習(xí)的可以閱讀龔升老師的《微積分五講》
假設(shè)滿足
，這兩條規(guī)則的微分乘積稱為微分的外乘積，由微分的外乘積乘上函數(shù)組成的微分形式，稱為外微分形式
為一次外微分形式
為二次外微分形式
為三次外微分形式
（A,B,C,D,P,Q,R,H）都是x，y，z的函數(shù)
對(duì)于任意兩個(gè)外微分形式
也可以定義外微分
則
外微分的外乘積滿足分配律和結(jié)合律，如果
是任意的三個(gè)外積分形式，則
對(duì)于外微分形式
，可以定義外微分算子
對(duì)于零次外微分形式，就是普通的全微分算子
對(duì)于一次外微分形式，
，定義
，即對(duì)P,Q,R進(jìn)行外微分（全微分），然后進(jìn)行外乘積，
對(duì)于二次外微分形式：
同樣，定義
,代入dA,dB,dC利用外乘積的性質(zhì)得到
對(duì)于三次外積分形式
格林公式：
記，
，
是一次外微分形式，
于是
對(duì)兩邊同時(shí)積分，得到格林公式
Stokes公式：
，看作是一次外微分形式，于是
，對(duì)兩邊同時(shí)積分得到stokes公式。
對(duì)于高斯公式
將
看作二次外微分形式，
,積分得到高斯公式
先看零次外微分形式
，外微分形式為
，而f的梯度為
,梯度與零次型的外微分相對(duì)應(yīng)
同理，旋度與一次型外微分相對(duì)應(yīng)，散度與二次型外微分相對(duì)應(yīng)
牛頓-萊布尼茲法則建立了直線段與邊界的關(guān)系
格林公式建立了平面區(qū)域與其邊界的關(guān)系
Stokes公式建立了空間曲面與其邊界的關(guān)系
高斯公式建立了空間中區(qū)域與其邊界的關(guān)系
這四個(gè)公式其實(shí)說(shuō)的都是一個(gè)內(nèi)容，都是建立了圍成區(qū)域與邊界之間的關(guān)系
參考書目：
工科數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ) 下冊(cè)-馬知恩等主編-高等教育出版社-1998
《微積分五講》龔升
最美的公式：你也能懂的麥克斯韋方程組（微分篇）長(zhǎng)尾科技
