函數(shù)的連續(xù)性要用導(dǎo)數(shù)的定義式求么(函數(shù)的連續(xù)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系)
我們來討導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義、與連續(xù)性的關(guān)系以及函數(shù)的求導(dǎo)法則。那你知道導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義、與連續(xù)性的關(guān)系以及函數(shù)的求導(dǎo)法則呢?
孩子學(xué)習(xí)?對于所有的家長來,最關(guān)心就是孩子的學(xué)習(xí),對吧?如何幫孩子提升學(xué)習(xí)成績呢?影響孩子學(xué)習(xí)成績的因素有哪些?左養(yǎng)右學(xué)教育賴頌強團隊13年的家庭教育服務(wù)經(jīng)驗總結(jié),影響孩子學(xué)習(xí)的主要因素有22條之多,家長你了解幾條呢?
談?wù)搶?dǎo)數(shù)之前,我們先看看兩個例子:
直線運動的速度①取從時刻 t0到t這樣一個時間價格,在這段時間內(nèi),質(zhì)點從為止S0=f(t0)移動到s=f(t); (s-s0)/t-t0=f(t)-f(t0)/t-t0,質(zhì)點的平均速度。②瞬時速度v=lim ( (f(t) )-(f(t0) )/(t-t0) ) (t→t0)切線問題設(shè)有曲線C及C上的一點M,在點M外另取C上一點N,作割線MN。當(dāng)點N沿曲線C趨于點M時,如果各項MN繞點M旋轉(zhuǎn)而趨于極限為止MT,直線MT就稱為曲線C在點M處的的切線。
tan θ=(y-y0)/(x-x0)=(f(x)-f(x0))/(x-x0)
斜率k=lim (f(x)-f(x0))/(x-x0)(x→x0)
一、導(dǎo)數(shù)的定義
設(shè)函數(shù) y=f(x)在點x0的某個領(lǐng)域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量x在x0處取得增量△x(點x0+△x仍在該鄰域內(nèi))時,相應(yīng)地,因變量取得增量 △y=f(x0+△x)-f(x0);如果 △y與△x之比當(dāng)△x→0時的極限存在,那么稱函數(shù)y=f(x)在點x0處可導(dǎo),并稱這個極限為函數(shù)y=f(x)的在點x0處可導(dǎo),并稱這個極限為函數(shù)y=f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù),記為f'(x0),即
也可記住
二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義
曲線在點(x0,y0)的切線方程:
曲線在點(x0,y0)的法線方程:
注:曲線的 切線方程的斜率 與 曲線的 法線方程的斜率 互為負倒數(shù)
三、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系
設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x處可導(dǎo),即
存在。由具有極限的函數(shù)與無窮小的關(guān)系知道
其中α為當(dāng) △x→0時的無窮小,上式兩邊同乘 △x 得
當(dāng) △x→0時,△y→0。函數(shù)yy=f(x)在點x處是連續(xù)的。所以,如果函數(shù)y=f(x)在點x處可導(dǎo),那么函數(shù)在該點必連續(xù)。
四、函數(shù)的求導(dǎo)法則
①函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則
和、差: (u ± v)’=u’± v’
記:和、差的導(dǎo)數(shù)分別求導(dǎo),再和、差。
積:(uv)=u’ v+u v’ , (Cu)’=C u'(C為常數(shù))
簡記:乘積的導(dǎo)數(shù)是 前導(dǎo)后不導(dǎo)加上后導(dǎo)前不導(dǎo)(前是指 乘積中的第一個因子,后是指 乘積中的第二個因子)。
商:(u/v)’=(u’ v-u v’) / v^2 (v不等于0)
簡記:商的導(dǎo)數(shù)是 子導(dǎo)母不導(dǎo) 減去 母導(dǎo)子不導(dǎo) 最后 除以 分母的平方(子 指分子,母指 分母)。
②反函數(shù)的求導(dǎo)法則
如果函數(shù) x=f(y)在區(qū)間I內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f ‘(x)≠0,那么它的反函數(shù)在反函數(shù)的區(qū)間內(nèi)也可導(dǎo),且
記:反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 等于 原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)
③復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
如果u=g(x) 在點x可導(dǎo),而y=f(u)在點u=g(x)可導(dǎo),那么復(fù)合函數(shù) y=f[g(x)]在點x可導(dǎo),其導(dǎo)數(shù)為
記:復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 等于 一層一層往里面求導(dǎo),再乘積。
例如 (sin nx)’=n cos nx
④常用的導(dǎo)數(shù)公式
(1)( C )’=0
(2)(x^u)’=u x^(u-1)
(3)(sin x)’=cos x
(4) (cos x)’=-sin x
(5)(tan x)’=sec(^2) x
(6)(cot x)’=-csc(^2) x
(7)(sec x)’=sec x ·tanx
(8)(csc x)’=-csc x cot x
(9)(a^x)’=(a^x) · ln a
(10)(e^x)’=e^x
不要怕,學(xué)霸來幫你來了,這幾個有口訣可以幫助記憶:
口訣:
常為零,冪降次,對倒數(shù),
指不變,正變余,余變正,
切割方,割乘切,反分式。
口訣含義:
常數(shù)的的導(dǎo)數(shù)為零。
冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是指數(shù)減一,在把原指數(shù)做系數(shù)。
對數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是倒數(shù)。
指數(shù)的導(dǎo)數(shù)不變,在乘以 ln a。
正弦函數(shù)變余弦函數(shù),余弦函數(shù)變正弦函數(shù)。
正切和余切的導(dǎo)數(shù)分別是正割的平方和余割的平方。
正割和余割的導(dǎo)數(shù)分別是 正割乘以正切 和 余割乘以余切
反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都是分式。
五、高階導(dǎo)數(shù)
一般地,函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù) y’=f'(x)仍然是x的函數(shù)。我們把 y’=f'(x)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù),記作 y” 或
f'(x)叫做f(x)的一階導(dǎo)數(shù),一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)是二階導(dǎo)數(shù),二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)是三級導(dǎo)數(shù)。
…一般地,(n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫n階導(dǎo)數(shù)。
y’, y” ,y”’, y^(4), . . . . . .y^(n)
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