正交矩陣，
只是一個(gè)矩陣！
不好意思，你們要的老大被我正交了。
談起正交變換，不知道模友們是否記得之前一篇文章——如何通過心形線快速認(rèn)識(shí)秩的幾何意義？里面提到一位很牛逼的數(shù)學(xué)家費(fèi)羅貝尼烏斯(F.G.Frobenius，1849-1917)。
他討論了最小多項(xiàng)式問題，引進(jìn)了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論，并討論了正交矩陣與合同矩陣的一些重要性質(zhì)。
沒錯(cuò)，今天要討論的就是他的貢獻(xiàn)之一，正交矩陣與正交變換。
故事開始，先從代數(shù)角度理解一下正交矩陣。
其實(shí)很簡(jiǎn)單，我們找到兩個(gè)相同的矩陣Q，它們一起睡覺，一個(gè)躺著睡（仰臥），一個(gè)翻轉(zhuǎn)過來(lái)睡（俯臥），通過一晚上的成長(zhǎng)，早上起來(lái)它們生出了一個(gè)簡(jiǎn)單又特殊的矩陣——單位矩陣（主對(duì)角線都是1，其余為0），因此就稱Q為正交矩陣。
站在更高角度看，我們把n階正交矩陣全體和矩陣乘法運(yùn)算看成一個(gè)正交群，記作O(n)。如果這些正交矩陣的行列式恰好都是1，那就更特殊了（因?yàn)樗鼈兊耐迒挝痪仃囆辛惺揭彩?，有種遺傳性能的感覺），我們稱之為特殊正交群，記作SO(n)。
下面我們舉一個(gè)栗子，驗(yàn)證一下二維旋轉(zhuǎn)矩陣是不是正交矩陣
它們一起睡覺，開始造人了
這樣就得到了結(jié)論：旋轉(zhuǎn)矩陣就是正交矩陣。
模友們可以通過簡(jiǎn)單運(yùn)算判斷下面這個(gè)矩陣是否是正交矩陣(看看誰(shuí)能最快算出來(lái))
我相信，中國(guó)的最強(qiáng)大腦在這里！
那接下來(lái)，再?gòu)?strong>幾何角度理解一下正交變換。
先給出一個(gè)大家非常熟悉的定義：
這段比較通俗的正交變換解釋出自于在同濟(jì)大學(xué)的《線性代數(shù)》教材上（如果想不起來(lái)那有可能上課睡過去了
），當(dāng)然，超模君覺得它十分不嚴(yán)格，如果要嚴(yán)格版本，就沒有那么顯然易懂了：
正交變換就是一個(gè)保持內(nèi)積的線性變換φ，它從V映到V，其中V為實(shí)內(nèi)積空間。具體的，對(duì)任意向量u，v∈V，我們有（其中(u,v)表示內(nèi)積）。
我們也知道，正交變換能保持三角形形狀不變，這讓超模君想到了正交變換中的平移和旋轉(zhuǎn)變換。
確實(shí)！通過平移或旋轉(zhuǎn)，不會(huì)改變?nèi)切蔚男螤睢?/p>
那正交變換的優(yōu)良是什么梗？
那是因?yàn)樗€有許多不變的性質(zhì)，稱之為忠心耿耿變換再好不過了。
點(diǎn)、線、面的全家福
點(diǎn)、線、面正是吃了正交變換這顆“仙丹”，使它們保持身體健康青春有活力：
正交變換把點(diǎn)變?yōu)辄c(diǎn)，直線（線段）變?yōu)橹本€（長(zhǎng)度相等的線段），把平行線變?yōu)槠叫芯€，把共線（不共線）三點(diǎn)變?yōu)楣簿€（不共線）三點(diǎn)；保持直線夾角不變，最下面三個(gè)圖形經(jīng)過正交變換后形狀、大小完全不變（全等）。
多么漂亮優(yōu)美的性質(zhì)啊！試想一下，換成別的變換，哪怕是一個(gè)正方形，變換過去就“面目猙獰，六親不認(rèn)”了。
如果登場(chǎng)的是一個(gè)出身不菲的大佬……
怪形
怎么是凸的？看著不爽，我們先移動(dòng)節(jié)點(diǎn)讓它每?jī)蓷l直線都不香蕉
（相交）吧：
最強(qiáng)大腦現(xiàn)場(chǎng)
那么通過正交變換后，這個(gè)圖形的形狀和大小會(huì)改變嗎？
沒有思路？我們連幾條輔助線就豁然開朗了：
好了，超模君要問一個(gè)問題了，原來(lái)的怪形，通過正交變換，形狀也會(huì)不變嗎？
最后來(lái)說(shuō)說(shuō)正交變換（矩陣）的應(yīng)用。計(jì)算機(jī)中使用的軟件工具無(wú)不離開強(qiáng)大的數(shù)學(xué)原理，圖像處理也不例外，這在之前的特征向量文章中就有提及過。
用矩陣表示圖像，構(gòu)造正交均值差分變換矩陣，通過矩陣的乘法對(duì)原始圖像進(jìn)行正交變換，進(jìn)一步取閾值，我們只存儲(chǔ)絕對(duì)值大于閾值的系數(shù)（刪去矩陣上一些系數(shù)），來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)圖像的壓縮。我們來(lái)看一組圖片：
小貓?jiān)紙D像及不同閾值下的解碼圖像
可以看到，雖然貓?jiān)絹?lái)越模糊，但仍然不失真，不會(huì)把貓變成一只狗，通過最后一幅圖片我們還是可以辨別它就是貓。
這讓超模君想起了經(jīng)常使用的動(dòng)圖壓縮工具，如果動(dòng)圖時(shí)間越長(zhǎng)，壓縮出來(lái)的圖像就越是av畫質(zhì)了，可以看到下面一張動(dòng)圖，壓縮前是一個(gè)旋轉(zhuǎn)，壓縮后就像打雷一樣。
本文系網(wǎng)易新聞·網(wǎng)易號(hào)“各有態(tài)度”特色內(nèi)容
部分資料來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)
轉(zhuǎn)載請(qǐng)?jiān)诠娞?hào)中，回復(fù)“轉(zhuǎn)載”
—–這里是數(shù)學(xué)思維的聚集地——
“超級(jí)數(shù)學(xué)建模”（微信號(hào)supermodeling），每天學(xué)一點(diǎn)小知識(shí)，輕松了解各種思維，做個(gè)好玩的理性派。50萬(wàn)數(shù)學(xué)精英都在關(guān)注！
