回歸分析中的調(diào)整后r平方（回歸分析R平方）
回歸分析，是對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上變量之間的因果關(guān)系進(jìn)行定量研究的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。回歸分析，也是我們進(jìn)行需求預(yù)測(cè)常用的一種因果建模方法。
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我們做回歸分析時(shí)，離不開(kāi)一個(gè)字母“R”。本文向大家介紹R、R平方與調(diào)整后的R平方的概念、在回歸分析中作用以及計(jì)算方法。
一、R，相關(guān)系數(shù)。
顧名思義，相關(guān)系數(shù)，是衡量?jī)蓚€(gè)變量之間相關(guān)程度的系數(shù)，是判定變量之間線性相關(guān)性的一個(gè)相對(duì)指標(biāo)。相關(guān)系數(shù)用字母R表示，最早由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家卡爾·皮爾遜設(shè)計(jì)并提出。
相關(guān)系數(shù)R取值在±1之間，當(dāng)R為0時(shí)，表示兩個(gè)變量絕對(duì)不相關(guān)；當(dāng)R大于0時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)，即你增加我也增加，你減少我也減少；當(dāng)R小于0時(shí)，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，即你增加我減少，你減少我增加；當(dāng)R等于1或-1時(shí)，表示兩個(gè)變量絕對(duì)相關(guān)。
相關(guān)系數(shù)R越接近于±1，兩個(gè)變量之間相關(guān)性越強(qiáng)。一般認(rèn)為：當(dāng)R值為±0.7或更大時(shí)，兩個(gè)變量高度相關(guān)，即強(qiáng)相關(guān)；當(dāng)R值在±0.5~±0.7之間時(shí)，兩個(gè)變量中度相關(guān)；當(dāng)R值在±0.3~±0.5之間時(shí)，兩個(gè)變量弱相關(guān)；當(dāng)R值低于±0.3時(shí)，說(shuō)明兩個(gè)變量之間幾乎不存在相關(guān)關(guān)系。
相關(guān)系數(shù)R在回歸分析中的作用主要有兩點(diǎn)。
1、判斷自變量與因變量的關(guān)系，以確定該自變量有沒(méi)有納入回歸方程的必要（如果是一元回歸，就是有沒(méi)有做回歸分析的必要）。一般情況下，如果R低于±0.5，則這個(gè)自變量不需要納入回歸方程。
2、用回歸分析預(yù)測(cè)，對(duì)實(shí)際值與預(yù)測(cè)值進(jìn)行相關(guān)分析，相關(guān)系數(shù)R代表著回歸方程的精度，也即回歸方程的擬合程度。
另外，說(shuō)明一下，回歸分析是因果預(yù)測(cè)常用方法之一，但兩個(gè)變量之間有相關(guān)關(guān)系，并不一定有因果關(guān)系，因果關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的一種。
相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式如下圖。
二、R平方，判定系數(shù)。
判定系數(shù)，又叫決定系數(shù)，是指在線性回歸中，回歸可解釋離差平方和與總離差平方和之比值，其數(shù)值等于相關(guān)系數(shù)R的平方。
我們以下圖來(lái)解釋這個(gè)定義。如下圖所示，當(dāng)沒(méi)有促銷時(shí)，銷售預(yù)測(cè)為平均線A，有促銷產(chǎn)生時(shí)，銷售預(yù)測(cè)為回歸直線L，P點(diǎn)為一定促銷費(fèi)用時(shí)的實(shí)際銷售量，與回歸線L相交于y’點(diǎn)，與平均線A相交于O點(diǎn)。
如圖，P點(diǎn)到平均線A的距離PO為我們不做回歸分析的離均差，在這里稱為總離差。P點(diǎn)與回歸線L的垂直交點(diǎn)y’到平均線A的距離y’O，這是我們做了回歸分析后能夠預(yù)測(cè)到的部分，即回歸模型可解釋的部分，故稱為回歸可解釋離差。全部期間點(diǎn)的回歸可解釋離差平方和除以總離差平方和，即為判定系數(shù)R平方。不過(guò)，判定系數(shù)不用這么復(fù)雜計(jì)算，直接將相關(guān)系數(shù)R進(jìn)行平方即可。
判定系數(shù)是一個(gè)解釋性系數(shù)，在回歸分析中，其主要作用是評(píng)估回歸模型對(duì)因變量y產(chǎn)生變化的解釋程度，也即判定系數(shù)R平方是評(píng)估回歸模型好壞的指標(biāo)。R平方取值范圍也為0~1，通常以百分?jǐn)?shù)表示。比如回歸模型的R平方等于0.7，那么表示，此回歸模型對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的可解釋程度為70%。
一般認(rèn)為，R平方大于0.75，表示模型擬合度很好，可解釋程度較高；R平方小于0.5，表示模型擬合有問(wèn)題，不宜采用進(jìn)行回歸分析。
三、調(diào)整后的R平方，修正自由度的判定系數(shù)。
多元回歸實(shí)際應(yīng)用中，判定系數(shù)R平方有個(gè)最大的問(wèn)題：增加自變量的個(gè)數(shù)時(shí)，判定系數(shù)就會(huì)增加，即隨著自變量的增多，R平方會(huì)越來(lái)越大，會(huì)顯得回歸模型精度很高，有較好的擬合效果。而實(shí)際上可能并非如此，有些自變量與因變量（即預(yù)測(cè)）完全不相關(guān)，增加這些自變量，并不會(huì)提升擬合水平和預(yù)測(cè)精度。為避免這種現(xiàn)象，調(diào)整后的R平方粉墨登場(chǎng)。
R平方的主要問(wèn)題是未考慮自由度問(wèn)題，為解決這個(gè)問(wèn)題，為避免增加自變 量而高估R平方，需要對(duì)R平方進(jìn)行調(diào)整。采用的方法是用樣本量n和自變量的個(gè)數(shù)k去調(diào)整 R平方。調(diào)整后的R平方計(jì)算公式如下圖。
從以上公式看出，調(diào)整后的R平方同時(shí)考慮了樣本量（n）和回歸中自變量的個(gè)數(shù)（k）的影響，這使得調(diào)整后的R平方永遠(yuǎn)小于R平方，并且調(diào)整R平方的值不會(huì)由于回歸中自變量個(gè)數(shù)的增加而越來(lái)越接近1。
因調(diào)整后的R平方較R平方測(cè)算更準(zhǔn)確，在回歸分析尤其是多元回歸中，我們通常使用調(diào)整后的R平方對(duì)回歸模型進(jìn)行精度測(cè)算，以評(píng)估回歸模型的擬合度和效果。
一般認(rèn)為，在回歸分析中，0.5為調(diào)整后的R平方的臨界值，如果調(diào)整后的R平方小于0.5，則要分析我們所采用和未采用的自變量。另，如果調(diào)整后的R平方與R平方存在明顯差異，則意味著所用的自變量不能很好的測(cè)算因變量的變化，或者是遺漏了一些可用的自變量。調(diào)整后的R平方與R平方間差距越大，模型的擬合越差。
以上介紹了與回歸分析相關(guān)的幾個(gè)系數(shù)：相關(guān)系數(shù)R、判定系數(shù)R平方、修正自由度的判定系數(shù)“調(diào)整后的R平方”。但回歸模型優(yōu)劣的評(píng)定，不僅僅是這三個(gè)系數(shù)，還需要其它的評(píng)價(jià)辦法與指標(biāo)，比如多重共線性、顯著性驗(yàn)證、方差分析等。后續(xù)我將逐步介紹，敬請(qǐng)關(guān)注。
